（完全理解）二重积分中的换元积分中的雅可比矩阵

前言

我们知道，在二重积分中，换元积分如下：

但是很多人并不知道为什么是这样，所以一直记不住换元积分的公式。

引入

我们首先得明白，二重积分有点类似于求体积，f(x,y)就是高，D是底。然后积分，就是求和。将这个体积分成无数个小竖块，每一个小竖块都看成一个长方体，底面积就是dxdy,高就是f(x,y)。

如下：下面是在计算以PQ,PR围成的面积，即dxdy。然后在这个小区域里面，它的高看成了长方体，即高都一样，而且使用了P点的高f(x,y)来代替。

现在，我们要换元：

此时，要记住，通过f,g这两个映射，x,y唯一确定了u,v，即相当于就是P,Q,R这三个点，在u,v坐标系里面都会映射为相应的点，如下：

可以看到，此时底面不一定是长方形了，通用的说，其实应该是一个平行四边形！！！

推导

你自己想想，我们现在其实就是要求映射后的面积是多少，即那个平行四边形的面积，然后乘以高，就可以完成映射后的积分啦。

平行四边形面积，即向量叉乘，也即两个二维列向量组成的矩阵的行列式的面积的绝对值。

然后，我们可以使用，偏导数定义：

注意，上面忽略了无穷小量，因为在有更大的量还存在的情况下，无穷小量没有用。

然后利用行列式性质，将dxdy可以提出来，我们就得到了上述式子。而上述式子就等于dudv，即平行四边形的面积为dudv。然后我们就得到了换元公式。

疑惑

为什么在原坐标系x,y中，dx,dy是长方形，是和坐标轴x,y轴方向一样的，但是在u,v中，du,dv就变成了斜的？其实，积分是求和，是无数个小竖块体积叠加，至于那个底是正方形还是长方形，甚至平行四边形重要吗？只要你能算出那个底面积，就都可以。

另外一个问题：从另外一个角度思考：将底面积从x,y轴，映射到u,v轴，然后高也映射过去，然后再在u,v轴计算体积，是没有雅可比矩阵的啊，为什么两者会相差一个雅可比矩阵呢？原因很简单，变换其实有可能导致体积变化，而不是你想象得那样，两者体积一毛一样。

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完结撒花

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