密码学基础（数学理论）

数学基础

• 素数与合数定义：

整数p是一个素数, 如果它只能被±p，±1整除。素数的个数是无限的，全体素数的集合记为P。如果整数n不是素数，则它是一个合数。

• 模n同余定义：

若a mod n= b mod n，则称整数a和b模n同余。

• 求最大公因子GCD的Euclidean算法（辗转相除法）：

Step 1: r0 =a and r1 =b；
Step 2: r0 =q1r1+r2； r1 =q2r2+r3； …… ；rn-2 =qn-1rn-1+rn； until rn=0 and rn-1 ≠ 0；
Step 3: rn-1 = gcd(a,b)。

• 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）：

设 n1, n2, …, nk 为两两互素的正整数，gcd(ni,nj)=1(ij)，a1，a2， …，ak为整数，则同余方程组:：
x = a1 mod n1
x = a2 mod n2
……
x = ak mod nk
有模n=n1n2…nk的惟一解x。
特性：在模n(=n1n2…nk)下可将非常大的数x由一组小数(a1,a2,…,ak)表达 x → (a1,a2,…,ak)。
中国古代命题：“韩信点兵”、“孙子定理”、求一术(沈括)“鬼谷算”(周密)、“隔墻算”(周密)、“剪管术”(杨辉)、“秦王暗点兵”、“物不知数”。中国剩余定理：孙子剩余定理、物不知数、数论的重要命题。

• 费马小定理：

设p是素数，由于对任意的a(0

群、环、域的概念

群、环、域的概念，这是离散数学当中的概念：

• 有限域：顾名思义，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方
• 幺元：如果对于一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何数本身，则称这个数是这个集合对于运算+的幺元。以加法为例，0就是在整数这个集合中，关于加法的幺元。
• 零元：和幺元类似，不同处在于是有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是这个数本身，则这个数是这个集合对于这个二元运算的零元。以乘法为例，0就是零元。
• 逆元：有一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），如果a+a’=这个运算的幺元，那么，a与a’互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。
• 群：群表示一种关系，定义一个集合s和一个操作+，注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算，如果这个集合中的元素，关于这个运算，满足结合律，每一个元素有逆元，整个集合有关于这个运算的幺元，则称，这个关系s,+是一个群。以加法为例，加法在整数这个集合上是一个群。
• 环:如果有两个二元运算+,*(注意+,*并不是指一般意义的加法,乘法，它可以指代任何二元运算)，在一个集合上，一个二元运算满足可结合、可交换、有幺元，元素都有逆元，另一个二元运算满足可结合，则这个关系s,+，*是一个环。
• 整环：在环的定义中，只需满足了可结合的那个运算*（不一定是真正意义的惩罚），如果还满足了可交换、有幺元，对于a*b=0一定能推出a=0或b=0，则这个环是整环。
• 域：如果一个整环，集合中有至少两个元素，且都有逆元，则是域。
• 伽罗华域：首先，这是一个有限域，其次，这个有限域是2的若干次方。密码学里常用的是2^8

再看有限域，以模5为例，0-4的计算结果也要模5，对于普通加法和乘法，可以证明（我其实不会证），这个关系<0~4,+,*>是一个域，且元素个数有限，所以是有限域。

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有限域：顾名思义，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。

密码学基础概念

• 一个密码系统是整个安全系统的一部分，由五部分组成（M，C，K，E，D）：

1、明文空间M：全体明文的集合，明文（Plaintext）：伪装前的原始数据。

2、密文空间C：全体密文的集合，密文（Ciphertext）：伪装后的数据。

3、密钥空间K：全体密钥的集合，K = < Ke，Kd >，密钥（Key）：加密和解密分别在加密密钥和解密密钥的控制下进行。

4、加密算法集合E，加密变换，ek：M→C，加密（Encryption）：伪装的过程。

5、解密算法集合D，解密变换，dk：C→M，解密（Decryption）：去掉密文的伪装恢复出明文的过程。

• 加密算法需满足两条准则之一，满足两个准则的加密算法称为计算上安全。

1、破译密文的代价超过被加密信息的价值。

2、破译密文所花的时间超过信息的有用期。

推荐书籍

密码学是一个高度跨学科的领域，包含纯数学、计算机科学以及电子工程等多方面的知识。个人认为数学基础是最重要的，也是最不好修炼的一门内功。

密码入门：

《高等数学》---------->工程学高数是必修课
《线性代数》--------->线性代数的研究对象是方程组和矩阵，对密码学来说，可以进一步了解《矩阵论》的相关知识。
《概率论》----------->需要把后续课程，《信息论与编码》的知识也掌握。
《抽象代数》（又称近世代数）----------->个人认为这是这些数学基础课里面，最重要的一门课，掌握好其中的群、环、域、模的知识，对学习目前热门的公钥加密，数字签名，认证等知识大有裨益。当然，这确实是一门神课，天才造出来的东西，真不是俺能彻底搞懂的。
《数论》------->基础中的基础，必修课。

密码进阶

《现代密码学》第4版------->杨波老师编写的，一本很薄的讲解基础密码学的书籍 《Introduction to Modern
Cryptography》 2ed -------> by Jonathan Katz and Yehuda Lindell ，口碑之作，入门有一定难度，国防工业出版社翻译出版了第一版：《现代密码学:原理与协议》。
《应用密码学 :协议算法与c源程序》------->介绍全面，值得阅读一遍，缺点就是书籍出版的有些年代了(1996年第二版)。
《密码编码学与网络安全——原理与实践》第七版 by William Stalling------->很多著名大学都采用它做教材，内容比上面那本书新（2017年第七版）。
《密码学原理与实践》第三版 Douglas R.Stinson著 冯登国 译------->值得精读的一本书
西电胡予濮老师的《现代密码学》课件-------->胡老师本身就是学术大牛，对密码学科的认识很全面，课程讲解仔细，深入浅出，从上个世纪讲到目前的研究热点格密码，能很好的开启视野。
西电胡予濮老师的《流密码》课件--------->基本涉及了流密码的方方面面，课件内容比较细致。

高阶密码

《安全协议理论》，这个课程网上资料不多，我这里有一份电子文档，内容比较“高深”，有需要私信。
《计算复杂性理论》，神一样的课程，从来没听懂过。
《Foundations of Cryptography》by Oded Goldreich，高级密码学理论研究的敲门砖，理论性很强！！！
Bristol大学的密码安全工作组为密码学和信息安全相关的博士准备了52个基本知识点，详情见52个密码学基本知识点，可以简单看一下即可。

最后感叹一下，密码学是一个烧脑的课程。这门学课发展到至今，研究的重点仍然是加密和解密，但研究内容其实远远不止这些了。为了保证安全性，密码算法往往结构复杂、协议繁复，令人望而却步，但是基于的数学原理却又是如此的优美。加密和破解像一对欢喜冤家，携手推进密码学向前发展。

视频推荐： 信息安全数学基础：http://mooc.study.163.com/course/HIT-1000002013#/info
近视代数：http://mooc.study.163.com/course/HIT-1000003009#/info
近世代数_104_南京大学(孙智伟)：https://www.bilibili.com/video/av9351622/ Coursera
密码学公开课：Stanford University的Cryptography I和Cryptography II