南鸢北折
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董秋仙-2一元函数微分学-2

目录

  1. 麦克劳林：将已知函数值的点在已知导函数值的点展开
  2. 麦克劳林与罗尔定理
  3. 使用泰勒公式求方程近似解
  4. 洛必达不能使用时凑出导数的定义
  5. 利用牛顿莱布尼茨公式证明函数有界
  6. 拉格朗日协助取点+最值定理+费马定理
  7. 判断多项式可能存在的最高次数
  8. 区间端点在区间任意处泰勒展开
  9. 证明詹森不等式
  10. 詹森不等式证明基本不等式链
  11. 求曲线的渐近线
  12. 用詹森不等式证明杨氏不等式
  13. 赫尔德不等式——柯西不等式的一般形式
  14. 用赫尔德不等式证明闵可夫斯基不等式

麦克劳林：将已知函数值的点在已知导函数值的点展开

 麦克劳林与罗尔定理

使用泰勒公式求方程近似解

此时不能选择皮亚诺余项，应选择拉格朗日余项

董秋仙-2一元函数微分学-2_第1张图片

董秋仙-2一元函数微分学-2_第2张图片

洛必达不能使用时凑出导数的定义

这里对于截距极限的计算可能会遇到些许的问题：

为什么不能用洛必达法则，而非要凑出导数的定义呢？

二阶可导可以可以推出二阶导数连续吗？不是说可导一定连续吗？

答案是否定的。这里需要注意的是，“可导一定连续”，指的是求导前的函数连续

“二阶可导”仅仅意味着二阶导数是存在、求导之前的函数连续，即一阶导数是连续的

至于二阶导数的连续性，是未知的，因此不能使用洛必达法则

虽然最后得到的式子形式差不多的，但是却有着本质上的区别

董秋仙-2一元函数微分学-2_第3张图片

利用牛顿莱布尼茨公式证明函数有界

如果某函数不好直接证明有界，但其导函数容易证明有界，这种情况下，我们可以尝试利用牛顿莱布尼茨公式证明原函数是有界的

拉格朗日协助取点+最值定理+费马定理

构造F(x)=f²(x)+[f’(x)]²其导数显然会出现所证明的结构。本题的问题在于找不到F(x)的零点，因此也就无法使用罗尔定理。这个时候我们需要借助拉格朗日中值定理取两个点，在这两个点构成的区间上使用最值定理，再由其是极大值，使用费马定理

判断多项式可能存在的最高次数 

 

 区间端点在区间任意处泰勒展开

董秋仙-2一元函数微分学-2_第4张图片

 董秋仙-2一元函数微分学-2_第5张图片

证明詹森不等式

我们使用泰勒中值定理

书中的答案使用的是数学归纳法，个人认为不如使用泰勒中值定理简洁

书上的解法这里略去

董秋仙-2一元函数微分学-2_第6张图片

我们可以利用

詹森不等式证明基本不等式链

其中证明平方平均数大于算数平均数利用的是x²的下凸性质

证明算数平均数大于几何平均数、几何平均数大于调和平均数都利用了lnx的上凸性质

董秋仙-2一元函数微分学-2_第7张图片

求曲线的渐近线

分别求垂直渐近线和斜渐近线

董秋仙-2一元函数微分学-2_第8张图片

 董秋仙-2一元函数微分学-2_第9张图片

 这道题放在高中都算是基础题，简单求一阶导分析即可，过程略

董秋仙-2一元函数微分学-2_第10张图片用詹森不等式证明杨氏不等式

董秋仙-2一元函数微分学-2_第11张图片

本书中并未使用此方法。书中的方法略

董秋仙-2一元函数微分学-2_第12张图片

赫尔德不等式——柯西不等式的一般形式

我们用杨氏不等式来证明

董秋仙-2一元函数微分学-2_第13张图片

董秋仙-2一元函数微分学-2_第14张图片

 用赫尔德不等式证明闵可夫斯基不等式

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