切线和倒数_导数法求切线

根据导数的几何意义，切点处导数等于切线斜率，这也作为我们求解函数切线方程的基础.

求切线，我们需要两个要素：①切点坐标，②切点斜率.

1、已经切点：直接通过求切点导数来求切线斜率，然后用点斜式方程求解切线方程.

【例1-1】(2019全国1卷理数13题)曲线

在点

处的切线方程为___________.

【分析】已知切点，可以求切点导数来得到切线斜率，再代入点斜式方程得解.

【解析】求导

,所以

,

代入点斜式：

.

【例1-2】(2019全国2卷文数07)已知曲线

在点

处的切线方程为

,则

_______,

_______.

【分析】已知切点，直接求导数得到斜率和切线方程

【解析】

,

代入直线方程：

，

所以有：

.

2、已知斜率：根据斜率等于切点导数求出切点横坐标，从而求得切点，再代入点斜式.

【例2-1】(2019北京理数19-1)已知函数

,求曲线

的切线斜率为

的切线方程.

【分析】通过导数等于

求切点横坐标及切点，从而求得切线方程.

【解析】求导有

，解得：

或

,

对应

,所以有切点：

两个切点.

代入直线方程为：

和

.

【例2-2】(2015全国1卷理数21-1)已知函数

,当

为何值时，

轴为曲线

的切线.

【分析】

轴为切线，则斜率为

,且切点纵坐标为

.则先求出切点.

【解析】设切点为

，斜率为

,即

,

而

,解得：

,

.

【小结】这是条件给得最直接的两种方式，只要掌握基本方法，相信大家都能完成.而我们学习过程中的陷阱，套路也是那老三样，不管怎么变，万变不离其宗.

3、过某点切线方程.

这是我们求切线过程中的陷阱之一，过某点

，也就是说切线过了这一点，但是这一点并不一定就是切点.所以我们需要求出切点，再按题型①来求解.

具体方法就是：步骤一：设处切点方程

;

步骤二：建立斜率方程

及求解出切点;

步骤三：求出斜率，代入并求得切线方程.

【例3】(2019江苏卷数学11)直线

为曲线

的切线，且

过点

,则直线

的方程为________________.

【分析】切点位置，先设切点，求出切点.

【解析】设切点为

,求导有

,解得：

,

斜率为

.即过点

,斜率为

，代入直线方程：

.

【小结】过某点的切线，即切点未知，需要求出切点及斜率，用好切线斜率方程

.

【例3-2】(2013陕西卷理数23-1)已知函数

,

.若直线

与

的反函数

的图象相切，求实数

的值.

【分析】题意等价于过

的直线与

相切.即切点未知，我们要设出切点，建立斜率方程.

【解析】设切点为

，所以有斜率：

,解得：

.

4、公切线

求两条曲线的公共切线，两曲线切点，斜率都未知，所以我们需要求出一个切点及斜率.但需要分别设出两个切点，建立斜率方程来求解.

【例4-1】已知

,

,直线

是

与

的公切线，则直线

的方程为_____________.

【分析】分别设出

的切点

,分别建立斜率方程.

【解析】设出

的切点

,

求导有切线斜率：

,所以有

,即

,

建立斜率方程：

,解得：

,

代入直线方程：

【例4-2】已知函数

,设

是

一个零点，证明曲线

在点

处切线也是曲线

的切线.

【分析】这也是一个公切线问题，既然

则有

,设出公切线在

上的切点，建立斜率方程，验证是否满足零点方程

.

【解析】若共切线在

的切点为

，有

,即

,需满足斜率方程：

,化简得：

，而

是

的零点，满足

,得证.

【总结】公切线问题，也是一个切点未知的问题，分别设出两个切点，通过斜率相同(切点处导数相同)求出切点横坐标关系，再用斜率方程求解.

综上，导数法求斜率问题，切点是关键，已知切点用切点求导数，未知切点，设出切点，然后用切点求导数.而斜率方程的应用是解决未知切点问题的关键.

本节介绍了导数法求解切线方程的基本方法和题型，近期关注者上升明显，希望更多朋友关注哈！内容持续更新中.