【证明】线性映射不影响向量组的线性组合

前置定义 1　设 $V_n$，$U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，$T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果映射 $T$ 满足：

（i）任给 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in V_n$（从而 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2\in V$），有
$$T({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=T({\mathbf{\alpha }}_1)+T({\mathbf{\alpha }}_2)$$
（ii）任给 $\mathbf{\alpha }\in V_n$，$\lambda \in \mathbb{R}$（从而 $\lambda \mathbf{\alpha }\in V_n$），有
$$T(\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda T(\mathbf{\alpha })$$
那么，$T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的 线性映射，或称为 线性变换。

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性质 1　若 $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$，则 $T(\mathbf{\beta })=k_{1}T({\mathbf{\alpha }}_1)+k_{2}T({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +k_{m}T({\mathbf{\alpha }}_m)$。

证明　根据前置定义 1，有
$$\begin{array}{rl}T(\mathbf{\beta })& =T(k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m)\\ & =T(k_1{\mathbf{\alpha }}_1)+T(k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m)\\ & =T(k_1{\mathbf{\alpha }}_1)+T(k_2{\mathbf{\alpha }}_2)+T(k_3{\mathbf{\alpha }}_3\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m)\\ & =T(k_1{\mathbf{\alpha }}_1)+T(k_2{\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +T(k_m{\mathbf{\alpha }}_m)\\ & =k_{1}T({\mathbf{\alpha }}_1)+k_{2}T({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +k_{m}T({\mathbf{\alpha }}_m)\end{array}$$
得证。