曲线与曲面积分公式整理

第一类曲线积分(对弧长的积分)

意义

1. 当f(x,y)=1时，表示曲线L的长度
2. 表示线密度为f(x,y)的曲线质量

公式1

公式2

第二类曲线积分(对坐标的积分)

意义

1. 沿L运动的变力F=f(x,y)做的功

公式3

公式4

其中cosα与cosβ是L在(x,y)处的切向量相对于x轴和y轴的方向余弦

格林公式

公式5

其中L是单连通区域D的正向边界

公式6

其中L是复连通区域D外部正向边界，l(小写L)是复连通区域D内部正向边界(假设D内只有一个“洞”)

公式7

平面上曲线积分与路径无关的充要条件

P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数u(x,y)的全微分的充要条件

公式8

全微分方程求解

第一类曲面积分(对面积的积分)

意义

1. 当f(x,y,z)=1时，表示曲面的面积

公式9

第二类曲面积分(对坐标的积分)

意义

1. 单位时间内速度场v=Pi+Qj+Rk经过曲面一侧的流量

公式10

对于其它情况，只需把x和y替换掉即可

公式11

其中cosα,cosβ,cosγ是曲面在(x,y,z)处法向量对于x,y,z轴的方向余弦

高斯公式

公式12

其中Σ是围成闭区域Ω的曲面的外侧

公式13

曲面积分与曲面无关的充要条件

斯托克斯公式

公式14

公式15

空间曲线积分与路径无关的充要条件

物理量*

更多关于质心、转动惯量、万有引力、梯度、旋度、散度等公式，请前往网站曲线与曲面积分公式整理 - DearXuan的主页https://blog.dearxuan.com/2022/06/11/%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%95%B4%E7%90%86/