11、计算机图形学——几何（贝塞尔曲线与曲面）

一、贝塞尔曲线

1.1、简介

下图中蓝色的线就是贝塞尔曲线，每条贝塞尔曲线都有控制点（下图中有四个），贝塞尔曲线必须经过第1个和最后一个控制点，并且需要和第起止控制点相切

1.2、如何得到贝塞尔曲线

首先找到三个控制点

然后取线段b0b1上的一个点，获取的方法依然是线性插值

然后取线段b1b2上的一个点，获取的方法也是线性插值

得到两个线性插值的点后，连接着两个点，并在这两个点组成的线段上再次进行线性插值取点

将上图中线性插值出来的所有点B02都连接起来就是一条贝塞尔曲线了

四个控制点或者五个控制点都是同理

贝塞尔曲线线性插值的动画如下

 

如果最终得到的线性插值的点都用控制点来表示，那么，拥有三个控制点的贝塞尔曲线可以表示成如下形式

拥有四个控制点的贝塞尔曲线的行使如下

通过对系数的观察可知，n次贝塞尔曲线的参数是(t + (1-t))的n-1次方的展开

二、贝塞尔曲线的性质

1、必定经过起止控制点且与起终线段相切

2、具有仿射变换性质，可以通过移动控制点移动整条曲线，就是说将贝塞尔曲线的控制点经过仿射变换后，将变换后的控制点连起来之后，依然是个相同的贝塞尔曲线

3、贝塞尔曲线一定不会超出所有控制点构成的多边形，如下图所示，所有的贝塞尔曲线，一定在凸包里面（蓝色线里面）。

三、贝塞尔曲线的改进

当传统贝塞尔曲线的控制点增多时，贝塞尔曲线的形状变得难以控制

所以，就有人提出了分段处理的方法，当控制点很多时，将控制点分组，每组控制点分别绘制贝塞尔曲线，然后将这些贝塞尔曲线连接在一起，形成一个新的贝塞尔曲线

这种分段的方法可以更好的控制贝塞尔曲线的局部。但是容易产生尖点（也就是不可导点），所以，为了使贝塞尔曲线更加光滑，连接控制点处必须可导

四、贝塞尔曲面

贝塞尔曲面的绘制也是基于贝塞尔曲线，只不过新加了一个高度信息

以16个控制点为例，首先找到空间中16个控制点，每四个一组，就能得到在空间中横向四个灰色的贝塞尔曲线，之后，再进行纵向遍历，每个贝塞尔曲线上都取一个点，纵向绘制贝塞尔曲线，就能得到一个贝塞尔去面，示意动图如下

参考

GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪_哔哩哔哩_bilibili 

Bezier Curve Edit (hws.edu)

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