金融时间序列分析：9. ARMA自回归移动平均模型

0. 目录

金融时间序列分析：9. ARMA自回归移动平均模型
金融时间序列分析：8. MA模型实例（Python）
金融时间序列分析：7. MA滑动平均模型
金融时间序列分析：6. AR模型实例
金融时间序列分析：5. AR模型实例（Python）
金融时间序列分析：4. AR自回归模型
金融时间序列分析：3. First Demo By Python
金融时间序列分析：2. 数学分析模型
金融时间序列分析：1. 基础知识

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1. ARMA模型

ARMA简单理解就是AR模型和MA模型混合。
更加复杂的情况下：一个ARMA过程可能是AR与MA过程、几个AR过程、AR与ARMA过程的迭加，也可能是测度误差较大的AR过程。

ARMA(p, q)模型公式：

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2. ARMA（1，1）

2.1 模型公式

xt=ϕ0+ϕ1xt−1+at−θ1at−1

or

(1−ϕ1B)xt=ϕ0+(1−θ1B)at

2.2 数学特征

ARMA（1，1）模型的统计性质和AR（1）模型类似，只是局部修改以适应MA（1）的影响。

期望
同AR模型

E(xt)=μ=ϕ01−ϕ1

方差
假定 ϕ0=0

Var(xt)=(1−2ϕ1θ1+θ12)σ2a1−ϕ21

自协方差

γ1−ϕ1γ0=−θ1σ2a

γl−ϕ)1γk−1=0,k>1

自相关函数ACF

ρ1=ϕ1−θ1σ2aγ0

ρk=ϕ1ρk−1

ARMA（1，1）模型的ACF和AR（1）模型十分相似，不同之处在于ARMA（1， 1）的指数衰减是从2开始的，所以ARMA（1，1）不能在任意有限间隔后截尾。

• ARMA（1，1）模型的平稳条件和AR（1）模型相同
• ARMA（1，1）模型的ACF和AR（1）模型十分相似，不同之处在于ARMA（1， 1）的指数衰减是从2开始的
• ARMA（1，1）模型的PACF和MA（1）的PACF表现相似，也不能在有限间隔后截尾

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3. ARMA(p, q)

3.1 模型公式

另外一种形式：

3.2 ARMA定阶

如前文所述，ACF和PACF都不能在有限间隔后截尾，那么无法对ARMA模型进行定阶。
为此提出了推广的ACF：EACF对ARMA模型进行定阶。
EACF是一个二维表，比如，ARMA（1，1）的理论EACF如下：

一般地，ARMA（p,q）模型的p，q是由EACF表中“O”组成的三角形的左上定点位置决定。

4. 预测

ARMA（p，q）模型的预测和AR（p）模型的预测具有相似的特征。

超前一步预测

预测误差：

eh(1)=xh+1−xh=ah+1

超前多步预测

当 l−i≤0 时， x̂ h(l−i)=xh+l−i

预测误差：
当 l−i>0 时， ah(l−i)=0
当 l−i≤0 时， ah(l−i)=ah+l−i
递推可以得到：

eh(l)=xh+l−x̂ h(l)

5. 参考文献

[1] MIT， Analysis of Financial Time Series
[2] 金融时间序列分析, Ruey S. Tray
[3] 金融时间序列分析, 炼数成金