深度学习基础--神经网络（2）

本文为学习笔记整理

参考书籍：《深度学习入门 : 基于Python的理论与实现 》/ (日) 斋藤康毅著 ; 陆宇杰译. – 北京 : 人民邮电出版社, 2018.7（2019.5重印）、

文章中带编号的图片（如：图3-14）均来自书籍内容。

神经网络的内积

使用NumPy矩阵实现神经网络需要注意输入值$x$和权重$w$的维数需要对应，其中：

$x$：存储输入信号的一维数组（向量）

$w$：存储权重参数的多维数组（矩阵）

3层神经网络的实现

输入到输出的前向传播：

联系激活函数的内容：

激活函数：
$$a=b+w_1{x}_1+w_2{x}_2\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

$$y=h(a)\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

第一层的神经元$a_1^{(1)}$：
$$a_1^{(1)}=w_{11}^{(1)}{x}_1+w_{12}^{(1)}{x}_2+b_1^{(1)}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$
使用矩阵的乘法运算，将第一层的加权和表示成：
$$A^{(1)}=X{W}^{(1)}+B^{(1)}\text{\hspace{1em}(3.9)}$$
$A^{(1)}=(a_1^{(1)},a_2^{(1)},a_3^{(1)})$

$X=(x_1,x_2)$

$B^{(1)}=(b_1^{(1)},b_2^{(1)},b_3^{(1)})$

$W^{(1)}=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{11}^{(1)}& w_{21}^{(1)}& w_{31}^{(1)}\\ w_{12}^{(1)}& w_{22}^{(1)}& w_{32}^{(1)}\end{array}\right]$
其实就是线型代数中方程组的矩阵表示

代码实现3层神经网络：

import numpy as np


def sigmoid_function(x):
    """sigmoid激活函数"""
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


def identity_function(x):
    """恒等函数"""
    return x


# 输入信号，x1 = 1.0, x2 = 0.5
X = np.array([1.0, 0.5])

"""第一层的前向传播"""
# 第一层的权重参数W1
W1 = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
# 第一层的偏置参数B1
B1 = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
# 计算a
A1 = np.dot(X, W1) + B1
# 激活函数
Z1 = sigmoid_function(A1)

"""第二层的前向传播"""
W2 = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
B2 = np.array([0.1, 0.2])
A2 = np.dot(Z1, W2) + B2
Z2 = sigmoid_function(A2)

"""第三层的前向传播,输出层"""
W3 = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
B3 = np.array([0.1, 0.2])
A3 = np.dot(Z2, W3) + B3
Z3 = identity_function(A3)  # 输出层所用的激活函数，此处为恒等函数

print(Z3)  # [0.31682708 0.69627909]

神经网络比较标准的代码格式，由书中作者提供：

import numpy as np


def sigmoid_function(x):
    """sigmoid激活函数"""
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


def identity_function(x):
    """恒等函数"""
    return x


def init_network():
    """进行权重和偏置的初始化"""
    network = {}  # 创建一个network字典，保存了每一层所需的权重参数和偏置参数
    """字典赋值，权重和偏置赋值"""
    network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])
    return network


def forward(network, x):
    """前向传播，从输入到输出的传递"""
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid_function(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid_function(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)  # 输出层的激活函数选择了恒等函数
    return y


network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)  # [0.31682708 0.69627909]

输出层的设计

机器学习的问题大致分为两类：

1. 分类问题，数据属于哪一个类别的问题，一般使用softmax函数
2. 回归问题，根据某个输入预测一个连续的数值的问题，一般使用恒等函数

恒等函数和softmax函数

恒等函数：输入信号会原封不动地被输出，主要用于回归问题

softmax函数：
$$y_k=\frac{exp(a_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}exp(a_i)}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$
$exp(x)$=$e^x$

$y_k$: 第k个神经元的输出$y_k$

softmax函数的分子是输入信号$a_k$的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。

softmax函数的代码实现：

import numpy as np


def softmax_function(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))


a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
y = softmax_function(a)
print(y)  # [0.01821127 0.24519181 0.73659691]

softmax函数的实现中要进行指数函数的运算，但是指数函数的值很容易变得非常大，要注意溢出问题。

改进函数：

改进函数代码实现：

import numpy as np


def softmax(x):
    """防止溢出的方法"""
    c = np.max(x)
    return np.exp(x - c) / np.sum(np.exp(x - c))


a = np.array([1010, 1000, 990])
y = softmax(a)
print(y)  # [9.99954600e-01 4.53978686e-05 2.06106005e-09]
print(np.sum(y))  # 1.0

softmax函数的性质：

1. softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数
2. softmax函数的输出值总和为1
3. 使用softmax函数后，各个元素之间的大小关系不会改变

因为性质2，所以可以将函数的输出解释为“概率”

import numpy as np


def softmax(x):
    c = np.max(x)
    return np.exp(x - c) / np.sum(np.exp(x - c))


a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
y = softmax(a)
print(y)  # [0.01821127 0.24519181 0.73659691]
print(np.sum(y))  # 1.0

y中的值视为概率，可以看到最后一个元素的“概率”最高，所以答案就是第三个类别

一般神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果

机器学习问题的步骤为：学习和推理

在推理阶段用学到的模型对未知的数据进行推理，因为softmax函数的性质3，各个元素的大小关系不变，所以在推理时一般会省略输出层的softmax函数

输出层的神经元数量

对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量

比如手写数字识别，有0到9一共十个数字，所以输出层的神经元数量设定为10.