参数方程求导习题

例1

已知$\{\begin{array}{c}x=t{e}^t\\ y=2t+t^2\end{array}$，求$\frac{dy}{dx}$

解：
$\frac{dx}{dt}=(t+1)e^t$

$\frac{dy}{dt}=2+2t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2+2t}{(t+1)e^t}=\frac{2}{e^t}$

例2

已知$\{\begin{array}{c}x=3t^2+2t\\ e^y\sin t-y+1=0\end{array}$，求$\frac{dy}{dx}$

解：
$\frac{dx}{dt}=6t+2$

\qquad 对$e^y\sin t-y+1=0$两边同时对$t$求导得

$e^y{y}^{\prime }\sin t+e^y\cos t-y^{\prime }=0$

\qquad 移项得$(e^y\sin t-1)y^{\prime }=-e^y\cos t$

$\frac{dy}{dt}=y^{\prime }=\frac{e^y\cos t}{1-e^y\sin t}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{e^y\cos t}{(6t+2)(1-e^y\sin t)}$

这题不仅考了参数方程求导，还考了隐函数求导。