宋浩《概率论与数理统计》自用笔记

文章目录

    • 第一章 概率论的基本概念
        • 古典概型
        • 几何概型
        • 公理化
        • 条件概率
        • 独立性
    • 第二章 随机变量及其分布
        • 离散型随机变量及其概率分布
        • 连续型随机变量及其概率密度函数
        • 分布函数
          • 离散型的分布函数
          • 连续型的分布函数
        • 离散型分布
          • 0-1分布
          • 几何分布
          • 二项分布
          • 泊松分布
          • 超几何分布
        • 连续型分布
          • 均匀分布
          • 指数分布
          • 正态分布
        • 随机变量函数的分布
          • 离散型
          • 连续型
    • 第三章 多维随机变量及其分布
      • 二维离散型的联合分布和边缘分布
      • 二维连续型的联合分布和边缘分布
    • 第四章 随机变量的数字特征
      • 离散型期望
      • 连续型期望
      • 随机变量函数
      • 期望的性质
      • 方差
      • 方差的性质
      • 原点矩和中心矩
    • 第四章 大数定律及中心极限定理
      • 大数定律
        • 切比雪夫不等式
        • 伯努利大数定律
        • 切比雪夫大数定律
        • 辛钦大数定律
      • 独立同分布中心极限定理
        • 德莫弗-拉普拉斯中心极限定理
    • 第六章 样本和抽样分布
      • 抽样分布
        • 卡方分布
        • t分布
        • F分布
        • 正态总体下的抽样分布
    • 第七章 参数估计
      • 矩估计定理
      • 极大似然估计
      • 无偏性
      • 有效性

第一章 概率论的基本概念

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  • 差事件:A-B = A - AB = A(~B),减去交集
  • 互不相容事件:适用于多个事件
  • 对立事件:并集为全集,只适用于两个事件

完备事件组:A1、…、An两两互不相容,并集为全集
德摩根定律:长线变短线,符号变

古典概型

  • 有限个样本点
  • 等可能性
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几何概型


难题:朝指定的两条平行线投针,针与平行线相交的概率

  1. 相交要距离——垂直距离和角度肯定需要标记,而用中点表示垂直距离就可以用到已知量d
  2. 发现相交的不等式表示,得到x、d应满足的表达式
  3. 写出范围,用面积算概率

推广:可用来求π


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结合定积分、绝对值等需注意

公理化



做题:画图、性4.5
如果概率=0,一定是不可能事件吗?不是!
扔到0.1这个点->概率为0也有可能发生
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条件概率

做题:定义、乘法公式、相互独立…
清楚地定义事件很重要!
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全概率公式:知道原因推结果
做题:列出所有情况(分类讨论)有时不止分一次情况
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贝叶斯公式:知道结果推原因
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做题:结合乘法公式和全概率公式使用宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第9张图片
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独立性


伯努利模型

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第二章 随机变量及其分布

将事件用数学语言描述。
离散型:有限个+可列无穷
非离散型:主要看连续性
连续性:1个或多个区间
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离散型随机变量及其概率分布

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解题:
1、取值有哪些情况,概率求出来 列表
2、根据要求的范围来求

连续型随机变量及其概率密度函数

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连续:端点无所谓,不影响概率
概率为0不一定不发生(多一个孤立点),概率为1不一定必然发生(少一个孤立点)。
以后多用积分解题
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不计高阶无穷小时,分子就是柱状的面积。

分布函数

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右连续:从右边逼近,极限值等于函数值
连续的三个条件:极限值存在、函数值存在、极限值等于函数值
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a-0是从负无穷趋近a,取不到a。0相当于△0,一个0的无穷小,可以减小一点点。

离散型的分布函数

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快捷方法:把X从小到大排列 然后画火柴棒
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如果只知道每段的,每个点的概率就是向上跳跃的范围
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连续型的分布函数

连续型端点上有没有无所谓,不像离散型会重点区分和计算!
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注意连续型分布中,极限值等于端点值。

离散型分布

0-1分布

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几何分布

首次发生的词语。
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二项分布

最可能值指n对应(n+1)p时,概率最大。类比p=0.5时n/2和(n+1)/2概率最大。

一人看一台,多了就不能及时维修。概率得(2)比(1)的效率反而高。难算:泊松
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泊松分布

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查表,看λ=6对应的值加起来什么时候超过0.95
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也不一定要写公式,直接查表。

超几何分布

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不放回抽样试验:通常要近似两次,否则不好算
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连续型分布

均匀分布



把X限制好就行,这里几何概型做也很好做。

指数分布


无记忆性:用分布函数的公式计算即可。

可用比例相等来理解。
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正态分布

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上面的图是错的,下面的图是对的,毕竟总面积相等。

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一般的正态分布如何化成标准正态分布?标准直接能做,一般的还要经过一步变换。
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注意带不带0的区别:带0是标准分布

区别不大
在这里插入图片描述

3sigma准则,落在外头概率很小。

给定概率,求对应的点。

随机变量函数的分布

离散型

连续型
  1. 用X的分布函数表示Y的分布函数
  2. 两边求导得P概率密度函数 注意复合函数求导
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    均匀分布
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    正态分布


带平方或根号容易分类讨论,要细心:


注意分布函数和概率密度函数的区别~
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第三章 多维随机变量及其分布

一个样本空间的多个变量描述性质。

  • 联合分布:概率为体积(三维空间中)。
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    宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第43张图片
  • 边缘分布宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第44张图片

二维离散型的联合分布和边缘分布

  • 联合分布:把xy两条直线画出来就简单了

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  • 边缘分布:对行和列求和即可。近似于只有一个变量了。
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  • 关系:用表格很好理解。 宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第47张图片
  • 二维连续型的联合分布和边缘分布

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(1)、(2)用公式求积分,(3)让x、y分别趋向正无穷
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期中不考,待补充。

第四章 随机变量的数字特征

离散型期望

取值和概率相乘然后相加

连续型期望

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X是连续型,Y是离散型,最终求Y。概率可与分布结合出题。

随机变量函数

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直接代入算

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多维也大同小异。

期望的性质

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注意验证XY是否独立。
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X拆解成Xi做。

方差

方差的性质


注意(5)右边是加号!!

原点矩和中心矩

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高于4阶的矩极少使用。

第四章 大数定律及中心极限定理

大数定律

切比雪夫不等式

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把EX和DX确认了代入即可。

伯努利大数定律

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依概率收敛:虽然中间有不符合的,但大体是向极限逼近的。所以可以用频率逼近概率
这里写的是同分布,所以不是切比雪夫大数定律的证明过程。
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切比雪夫大数定律

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若独立同分布:
在这里插入图片描述

辛钦大数定律

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更强了,因为方差无要求。说明用平均数算期望靠谱。

独立同分布中心极限定理

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做题:根据不同分布把EX和DX求出来
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德莫弗-拉普拉斯中心极限定理

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当P(X=88)不好求时,巧妙地变成(87.5-88.5),因为概率误差很小。
在这里插入图片描述
二项分布难算怎么变成别的分布?泊松分布和正态分布均可,看n。
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第六章 样本和抽样分布

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样本之间都是独立的。
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统计量不含未知参数!!!
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注意样本方差进行了修正
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S12:两个随机变量的协方差 R:相关系数
加粗样式宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第71张图片
宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第72张图片
将样本取平均值后,方差会变小:波动性变小。

抽样分布

卡方分布


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标准化:
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t分布

结合正态分布和卡方分布!标准化!!

F分布

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宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第76张图片
利用上分位数的定义:大于号

正态总体下的抽样分布


各种分布去配。

第七章 参数估计

从样本的数据推断分布中的参数。

  • 点估计:一个点 180
  • 区间估计:一个区间 175-185 较简单 区间要小一点,落在区间的概率大一点

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带尖号的为估计值。

矩估计定理

和分布类型无关。
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均匀分布的矩估计定理:做题时估计区间参数a、b
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样本值为1、2、1.因为是估计,不是用概率和为1做题。
宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第80张图片
矩不一定都存在。

极大似然估计

按照左边的规律来!
为什么x<=0时没有乘上去,因为P=0说明样本中的事件没有发生,所以不包括在似然函数的范畴?
宋浩《概率论与数理统计》自用笔记_第81张图片
如果有两个参数:求偏导!!!把另一个变量看做常数

均匀分布不能用求导的方法,事实上单调性可直接看出来,所以结果如下:
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无偏性

有效性

方差越小越好 发现1/n有效?
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无偏性求期望,有效性求方差。

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