线性代数矩阵相关内容总结

逆矩阵

A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E E为单位矩阵,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。单位矩阵的逆矩阵是它本身 。

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矩阵的转置

设A为m×n阶矩阵(即m行n列),第i行j列的元素是

即:

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对称矩阵

如果n阶方阵和它的转置相等 ,即

则称矩阵A为对称矩阵。

实对称矩阵

如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji),(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。

一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值(包括重根)。每一个特征值至少有一个特征向量(不止一个)。不同特征值对应特征向量线性无关。

正交矩阵

如果:A AT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,

若A为正交阵,则满足以下条件

1)AT是正交矩阵

2)(E为单位矩阵)

3)AT的各行式单位向量且两两正交

4)AT的各列式单位向量且两两正交

5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

6)|A|=1或-1

7)

8)正交矩阵通常用字母Q表示。

酉矩阵幺正矩阵

幺正矩阵表示的就是厄米共轭矩阵等于逆矩阵。

对于实矩阵,厄米共轭就是转置,所以实正交表示就是转置矩阵等于逆矩阵。

实正交表示是幺正表示的特例。

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ,矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

相似矩阵

在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B

对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵

可对角化矩阵

如果一个方块矩阵A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵P 使得 P −1AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。

对角化

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵,将M对角化,就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P,使M=PDP-1

矩阵相似于对角矩阵的条件充要条件n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是An个线性无关的特征向量。

若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必能相似于对角矩阵。当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关的特征向量,从而未必能对角化

特征值分解

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