Unity中的法线变换

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前言

最近，在学习UnityCG.cgjnc源码时，发现在非统一变换下，矩阵变换变成了左乘，顿时充满了疑惑，故此文章推导官方为啥这么写。

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符号	含义
$T_o$	模型空间下顶点的切线向量
$T_w$	世界空间下顶点的切线向量
$N_o，N_w$	同上，N表示法线向量
$M_{ow}$	模型空间到世界空间的变换矩阵
$M_{wo}$	世界空间到模型空间的变换矩阵
$G$	法线向量从模型空间到世界空间的变换矩阵

一、特殊的法线变换

在计算光照的时候，我们常常会用到世界空间坐标下的法线。对于顶点的切线向量$T_w$ ，可由下列公式得到：
$$T_w=M_{ow}\cdot T_o$$
单独来说，顶点的法线向量，也可通过上式变换。但是，变换后的法线向量却不一定与变换后的切线向量垂直了。具体可看乐乐女神的图解，

所以，为了求得$N_w$，我们得利用切线与法线垂直的关系。即：
$$T_w\cdot N_w=0$$
因此，我们可以进行如下公式推导：
$$\begin{gathered} T_w\cdot N_w=0 \\ (M_{ow}\cdot T_o)\cdot (G\cdot N_o)=0 \\ {T}_o^T\cdot (M_{ow}^T\cdot G)\cdot N_o=0 \end{gathered}$$
因为$T_o^T\cdot N_o=0$， 所以只要$M_{ow}^T\cdot G=I$,上式即可成立。
故，
$$\begin{gathered} G=(M_{ow}^T{)}^{-1} \\ G=(M_{ow}^{-1}{)}^T \end{gathered}$$
因此，$N_w=(M_{ow}^{-1}{)}^T\cdot N_o$，再来个双重转置可得，$N_w=N_o^T\cdot M_{ow}^{-1}$，又因为$M_{ow}^{-1}=M_{wo}$，所以最终得到：
$$N_w=N_o\cdot M_{wo}$$
这个公式，就是源码中的实现方式。