AcWing算法基础课----搜索与图论(一) 笔记 （DFS与BFS + 拓扑排序）

深度优先搜索 DFS

回溯、剪枝
每一个DFS都对应一个搜索树

搜索顺序！！！
恢复现场

例题：全排列问题、n皇后问题

宽度优先搜索 BFS

可以搜到最短路
边权都是1的时候BFS

queue<--初始
while(queue 不空){
	取front
	扩展front
}

例题：走迷宫、八数码

如何记录路径：记录前一个点是那一个

对比DFS、BFS
DFS：数据结构：stack 空间：O(h) 不具有最短性
BFS：数据结构：queue 空间：O(2^h) 最短路概念，具有最短性

树与图的存储

树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。

(1) 邻接矩阵：g[a][b] 存储边a->b 不能存取重边

(2) 邻接表：

// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;

// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

树与图的遍历

时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数

DFS

例题：树的重心

模板

int dfs(int u)
{
    st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

BFS

模板

queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);

while (q.size())
{
    int t = q.front();
    q.pop();

    for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
            q.push(j);
        }
    }
}

拓扑排序

针对有向图

有向无环图一定存在拓扑序列 --> 拓扑图

一个有向无环图至少存在一个入度为零的点

拓扑序不唯一

入度、出度

抽屉原理

模板

时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    // d[i] 存储点i的入度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}