动态规划算法解决背包问题

一、动态规划算法

1.1 基本介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

1.2 动态规划与分治法的区别：

• 相同点：基本思想均是将原问题分解成若干个子问题，先求子问题，然后从子问题的解得到原问题的解；
• 不同点：
  • 适用于动态规划求解的问题，分解得到的子问题往往不是互相独立的；
  • 动态规划为自底向上，而分治法为自顶向下。

二、背包问题

2.1 基本介绍

问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

其中又分01背包(每个物品最多放一个)和完全背包(每种物品都有无限件可用)

首先这是物品的参数：

每个动态规划算法都从一个网格开始，背包问题的网格如下。

第一步： 假设能背包能装的物品只有一个吉他，那么不管背包的容量为多少，其背包所能装的价值都是1500。

第二步： 假设背包能装的物品为4磅的音响和1磅的吉他，当背包的容量为 1、2、3 时，背包中只能放入一个吉他，因为音响的重量为 4，因此无法放入到背包中。

当背包的容量为 4 时，刚好等于音响的重量。这个时候有两个选择：一是只放入一个吉他；二是只放入一个音响。由于音响的价值为 3000，大于吉他的价值，因此选择将音响放入背包，此时背包中的价值为 3000。

第三步： 假设背包能装的物品为4磅的音响、1磅的吉他和3磅的电脑，当背包容量为1、2时，背包中只能放一个吉他。

当背包的容量为 3 时，有两种选择：一是只放入一个吉他；二是只放入一个电脑。由于电脑的价值高于吉他，因此将电脑放入。此时背包的价值为 2000。

当背包的容量为 4 时，仍然有两种选择：一是放入一个吉他和电脑；二是只放入一个音响。由于吉他和电脑的总价值高于音响的价值，因此将吉他和电脑放入。此时背包的价值为 1500 + 2000 = 3500。

2.2 思路分析

每次遍历到的第i个物品，设v [ i ] 为第 i 个物品的价值 、w [ i ] 为第 i 个物品的重量，根据 w [ i ] 和 v [ i ] 来确定是否需要将该物品放入背包中。并假设有n个物品，背包的容量为C。再令v [ i ] [ j ] 表示在前i个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。

分析步骤：

1. 将背包表初始化，v[i][0]=v[0][j]=0 表示前0个物品装入容量为0的背包的最大价值设为0
2. 当w[i]> j 时，即当新增的商品的重量大于当前背包的容量时，v[i][j] = v[i-1][j]，就使用上一个单元格的装入策略
3. 当j > = w [ i ] 时，即当新增的商品的重量小于等于当前背包的容量时，v[i][j] = max{ v[i-1][j], v[i] + v[i-1][ j-w[i] ] } 则最大价值为当前物品价值加背包剩余容量的最大价值

其中：
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大价值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ：在装了第i个物品之后，背包中剩余容量的最大价值

2.3 代码实现

package algorithm;

public class Knapsack {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {0, 1, 4, 3};    // 物品的重量
        int[] v = {0, 1500, 3000, 2000};    // 物品的价值

        int num = w.length; // 物品的数量可能的个数 (0~3，共 3 个)
        int weight = 5; // 背包的容量可能的个数 (0~4，共 5 个)

        int[][] val = new int[num][weight];    // val[i][j] 表示前i个物品可选，背包容量为j时的最大价值
        int[][] path = new int[num][weight];  // path[i][j] 用于标记第i个物品有没有放入容量为j的背包

        for (int i = 1; i < num; i++) {  // 遍历物品
            for (int j = 1; j < weight; j++) {   // 遍历背包容量
                if (w[i] > j) {    // 如果当前物品重量大于背包容量
                    val[i][j] = val[i - 1][j];  // 不装入
                } else {  // 如果当前物品重量小于等于背包容量
                    int value_1 = val[i - 1][j]; // 不放入第 i 个物品的背包价值
                    int value_2 = v[i] + val[i - 1][j - w[i]]; // 放入第 i 个物品后的价值
                    /* 把最大价值放入背包 */
                    if (value_1 > value_2) {
                        val[i][j] = value_1;
                    } else {
                        val[i][j] = value_2;
                        path[i][j] = 1;   // 用于标记在本网格放入了第 i 个物品
                    }
                }
            }
        }
        // 最后一个网格就是最大价值
        System.out.println("背包价值为：" + val[num - 1][weight - 1]);

        // 由于最后一个网格就是最大价值
        // 因此，逆序遍历 record 找到最后一个放入的物品，然后找到剩余空间价值是放入第几个物品
        int i = path.length - 1;
        int j = path[0].length - 1;
        while (i > 0 && j > 0) {
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("放入了第 %d 个商品\n", i);
                j = j - w[i];   // 背包剩余容量
            }
            i--;
        }
    }
}