动态规划-换钱的最少货币数（python实现）

算法题：换钱的最少钱币数

最近在看左程云的《程序员代码面试指南》，感觉不错，题都分了类，很方便有目的的刷题，书里的代码都是java实现的，刚好最近在学习python，就用python去练习一下。

1. 问题描述

给定数组arr，其value代表货币面额，货币可无限张使用，给定一个整数aim作为要找的钱数，求组成aim的最少货币数

举例：

arr = [5, 2, 3]
rest = 20
则4张5元可以组成20元，此为最少钱币数量，返回4

2.解决方法

1）暴力递归：从arr[0]开始，尝试每一种面值不同张数。具体看源码

2）动态规划：首先确定了本题尝试是无后效性的，即现状态的返回值与怎么到达这个状态无关。然后确定可变参数：cur 和 rest，cur代表钱币面值数组位置，rest代表要找钱数，与01背包问题有一点类似，从下往上，从左往右的构造表。m[i][j]代表使用i~N号面值钱币，组成j元的最小数量，初始化这张表后，把表中数据计算完整。递归关系不易看出，但画出图后分析可以得出m[i][j]依赖于m[i+1]一整行的数据，再加以判断，可以发现，其实m[i][j]与同一行的数据也有一定联系：m[i][rest]就是m[i][rest - arr[i]]+1 和 m[i+1][j] 的最小值。

3.代码实现

暴力递归算法：

# 递归需要确定的i值，表明现在的位置
def minCores(arr, i, rest):

    if i == len(arr):
        return 0 if rest == 0 else -1

    res = -1
    k = 0
    while k * arr[i] <= rest:
        next = minCores(arr, i+1, rest - k*arr[i])
        if next != -1: #  后续有效
            res = next + k if res == -1 else min(res, next+k)
        k += 1

    return res

动态规划算法：

# 动态规划
def minCore(arr, aim):
    
    m = [[-1 for i in range(aim+1)] for j in range(len(arr))]
    m[len(arr)-1][0] = 0

    i = len(arr) - 1
    while i >= 0:
        j = 0
        while j <= aim:
            # 看左边是否越界，且合法
            if j - arr[i] >= 0 and m[i][j - arr[i]] != -1:
                m[i][j] = m[i][j - arr[i]] + 1
            # 看下方是否合法 
            if i+1 < len(arr) and m[i+1][j] != -1:
                # m[i][j] = -1 说明左边不合法
                if m[i][j] == -1:
                    m[i][j] = m[i+1][j]
                # 如果都合法，取小的
                else:
                    m[i][j] = m[i+1][j] if m[i][j] > m[i+1][j] else m[i][j]    
            j += 1
        i -= 1

    return m[0][aim]

主函数及结果

if __name__ == "__main__":
    
    arr = [5, 2, 3]
    i = 0
    rest = 20
    
    print(minCores(arr, i, rest))
    print(minCore(arr, rest))

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