【李宏毅-机器学习笔记】-2：回归算法

第三章节：

一、回归：

1、定义：

Regression 就是找到一个函数 function ，通过输入特征 xx，输出一个数值 Scalar

2、实例：

• 股市预测
• 自动驾驶
• 商品推荐

3、建模步骤：

梯度下降算法：

• 单个特征-一元线性模型；多个特征-多远线性模型
• 评估损失函数：看在训练集和测试集上的实际结果
• 带学习速率的梯度下降提高模型精度-降低损失函数总和

4、注意事项：

• 过拟合：提高模型阶次可能造成过拟合

• 优化方法：

  • 多线性模型合并

  • 添加更多参数

  • 加入对权重的正则化，但是权重 $w$ 可能会使某些特征权值过高，仍旧导致overfitting，所以加入正则化

    

    

    • $w$ 越小，表示 $function$ 较平滑的， $function$输出值与输入值相差不大
    • 在很多应用场景中，并不是 $w$ 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 $w$ 越小大部分情况下都是好的。
    • $b$ 的值接近于0 ，对曲线平滑是没有影响

5、总结：

• Pokemon：原始的CP值极大程度的决定了进化后的CP值，但可能还有其他的一些因素。
• Gradient descent：梯度下降的做法；后面会讲到它的理论依据和要点。
• Overfitting和Regularization：过拟合和正则化

6、代码演示：

现在假设有10个x_data和y_data，x和y之间的关系是y_data=b+w*x_data。b，w都是参数，是需要学习出来的。现在我们来练习用梯度下降找到b和w。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl

# matplotlib没有中文字体，动态解决
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题

x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
x_d = np.asarray(x_data)
y_d = np.asarray(y_data)

x = np.arange(-200, -100, 1)
y = np.arange(-5, 5, 0.1)
Z = np.zeros((len(x), len(y)))
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# loss
for i in range(len(x)):
    for j in range(len(y)):
        b = x[i]
        w = y[j]
        Z[j][i] = 0  # meshgrid吐出结果：y为行，x为列
        for n in range(len(x_data)):
            Z[j][i] += (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2
        Z[j][i] /= len(x_data)

先给b和w一个初始值，计算出b和w的偏微分

# linear regression
#b = -120
#w = -4
b=-2
w=0.01
lr = 0.000005
iteration = 1400000

b_history = [b]
w_history = [w]
loss_history = []
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
    m = float(len(x_d))
    y_hat = w * x_d  +b
    loss = np.dot(y_d - y_hat, y_d - y_hat) / m
    grad_b = -2.0 * np.sum(y_d - y_hat) / m
    grad_w = -2.0 * np.dot(y_d - y_hat, x_d) / m
    # update param
    b -= lr * grad_b
    w -= lr * grad_w

    b_history.append(b)
    w_history.append(w)
    loss_history.append(loss)
    if i % 10000 == 0:
        print("Step %i, w: %0.4f, b: %.4f, Loss: %.4f" % (i, w, b, loss))
end = time.time()
print("大约需要时间：",end-start)

# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))  # 填充等高线
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange")
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")
plt.show()

输出结果如图

横坐标是b，纵坐标是w，标记×位最优解，显然，在图中我们并没有运行得到最优解，最优解十分的遥远。那么我们就调大learning rate，lr = 0.000001（调大10倍），得到结果如下图。

我们再调大learning rate，lr = 0.00001（调大10倍），得到结果如下图。

结果发现learning rate太大了，结果很不好。

所以我们给b和w特制化两种learning rate

# linear regression
b = -120
w = -4
lr = 1
iteration = 100000

b_history = [b]
w_history = [w]

lr_b=0
lr_w=0
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
    b_grad=0.0
    w_grad=0.0
    for n in range(len(x_data)):
        b_grad=b_grad-2.0*(y_data[n]-n-w*x_data[n])*1.0
        w_grad= w_grad-2.0*(y_data[n]-n-w*x_data[n])*x_data[n]
    
    lr_b=lr_b+b_grad**2
    lr_w=lr_w+w_grad**2
    # update param
    b -= lr/np.sqrt(lr_b) * b_grad
    w -= lr /np.sqrt(lr_w) * w_grad

    b_history.append(b)
    w_history.append(w)

# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))  # 填充等高线
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange")
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")
plt.show()

有了新的特制化两种learning rate就可以在10w次迭代之内到达最优点了。