Python 秦九韶 Horner 算法 计算多项式

问题：

• 给定 x, 计算多项式

$$p_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

直接表达

def p_n(x,a_n:list):
    ans = 0
    for i in range(len(a_n)): 
        ans += x**i*a_n[i]
    return ans

%%time
ans1 = 0
for i in range(1000):
    ans1 += p_n(2,[i for i in range(200)])

Wall time: 116 ms

• 其中 $a_k{x}^k$ 需要进行k次乘法，所以很复杂。

秦九韶算法 (Horner 算法)

$$p_n(x)=x[x\cdots [x(a_{n}x+a_{n-1})+a_{n-2}]+\cdots +a_{n-1}]+a_0$$

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}{b}_n& =a_n\\ b_{n-1}& =a_{n-1}+b_{n}x\end{array}\end{array}$$

def Horner(x,a_n:list):
    n = len(a_n)-1
    def b_n(x,i):
        if i == n: return a_n[i] # b_n = a_n
        return a_n[i]+ b_n(x,i+1)*x # b_{n-1} = a_{n-1} + b_n*x
    return b_n(x,0)

%%time
ans2 = 0
for i in range(1000):
    ans2 += Horner(2,[i for i in range(200)])

Wall time: 51.9 ms

ans1 == ans2

True

• 只需n 次乘法和n 次加法即可得到一个多项式的值。