集成学习算法

5.1 集成学习算法简介

学习目标

• 了解什么是集成学习
• 了解集成学习中的boosting和bagging

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1 什么是集成学习

某投资方想投资一家公司A，但他还不知道它的业绩。所以他想有人给他提意见，看看这家公司的股票价格是否每年增长6%以上。

集成学习通过建立几个模型来解决单一预测问题。它的工作原理是生成多个分类器/模型，各自作出预测。这些预测最后结合成组合预测，因此优于任何一个单分类的做出预测。

2 生活中的集成学习

1.买东西找别人推荐

2.唱歌比赛投票

每个人的视角不同、经历不同、给出的决策背后的原因不同

3 复习：机器学习的两个核心任务

• 任务一：如何优化训练数据 —> 主要用于解决欠拟合问题
• 任务二：如何提升泛化性能 —> 主要用于解决过拟合问题

4 集成学习中boosting和Bagging

• **Bagging中每个训练集互不相关，也就是每个基分类器互不相关，而Boosting中训练集要在上一轮的结果上进行调整，也使得其不能并行计算

  **

• Bagging中预测函数是均匀平等的，但在Boosting中预测函数是加权的

从算法来看，Bagging关注的是多个基模型的投票组合，每一个基模型相对复杂一些，Bagging可以降低方差；而Boosting采用的策略是在每一次学习中都减少上一轮的偏差。

5 小结

• 什么是集成学习【了解】
  • 通过建立几个模型来解决单一预测问题
• 机器学习两个核心任务【知道】
  • 1.解决欠拟合问题
    • 弱弱组合变强
    • boosting
  • 2.解决过拟合问题
    • 互相遏制变壮
    • Bagging

5.2 Bagging和随机森林

学习目标

• 知道Bagging集成原理
• 知道随机森林构造过程
• 知道什么是包外估计
• 知道RandomForestClassifier的使用
• 了解bagging集成的优点

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1 Bagging集成原理

Bagging

Bagging是bootstrap aggregating的简写。先说一下bootstrap，bootstrap也称为自助法，它是一种有放回的抽样方法。

在Bagging方法中，利用bootstrap方法从整体数据集中采取有放回抽样得到N个数据集，在每个数据集上学习出一个模型，最后的预测结果利用N个模型的输出得到，具体地：分类问题采用N个模型预测投票的方式，回归问题采用N个模型预测平均的方式。

例：

目标：把下面的圈和方块进行分类

实现过程：

1. 采样不同数据集

2)训练分类器

3)平权投票，获取最终结果

4)主要实现过程小结

2 bagging经典算法：随机森林

在机器学习中，随机森林是一个包含多个决策树的分类器，并且其输出的类别是由个别树输出的类别的众数而定。

随机森林 = Bagging + 决策树

例如, 如果你训练了5个树, 其中有4个树的结果是True, 1个树的结果是False, 那么最终投票结果就是True

随机森林够造过程中的关键步骤(M表示特征数目)：

1)假设训练集总共有N个样本，一次随机选出一个样本，有放回的抽样，重复N次(会出现重复的样本)

2) 随机去选出m个特征, m <

（这两种方式都是为了使用相同的数据可以产生不同的决策树）

3 包外估计 (Out-of-Bag Estimate)

在随机森林构造过程中，如果进行有放回的抽样，我们会发现，总是有一部分样本我们选不到。

• 这部分数据，占整体数据的比重有多大呢？
• 这部分数据有什么用呢？

3.1 包外估计的定义

没有选择到的数据，称之为 Out-of-bag(OOB)数据，当数据足够多，包外数据的概率为：

N为样本个数，1/N为样本选到的概率，

由于基分类器是构建在训练样本的自助抽样集上的，只有约 63.2％ 原样本集出现在中，而剩余的 36.8％ 的数据作为包外数据，可以用于基分类器的验证集。

经验证，包外估计是对集成分类器泛化误差的无偏估计.

oob_score
对于单棵用采样集训练完成的决策树Ti，用袋外数据运行后会产生一个oob_score ，对每一棵决策树都重复上述操作，最终会得到T个oob_score，把这T和oob_score平均，最终得到的就是整个随机森林的oob_score

3 随机森林api介绍

• sklearn.ensemble.RandomForestClassifier(n_estimators=10, criterion=’gini’, max_depth=None, bootstrap=True, random_state=None, min_samples_split=2)

  • n_estimators：integer，optional(default = 10)森林里的树木数量120,200,300,500,800,1200

    • 在利用最大投票数或平均值来预测之前，你想要建立子树的数量。

  • Criterion：string，可选(default =“gini”)

    • 分割特征的测量方法

  • max_depth：integer或None，可选(默认=无)

    • 树的最大深度 5,8,15,25,30

  • max_features="auto”,每个决策树的最大特征数量

    • If “auto”, then max_features=sqrt(n_features).
    • If “sqrt”, then max_features=sqrt(n_features)(same as “auto”).
    • If “log2”, then max_features=log2(n_features).
    • If None, then max_features=n_features.

  • bootstrap：boolean，optional(default = True)

    • 是否在构建树时使用放回抽样

  • min_samples_split 内部节点再划分所需最小样本数

    • 这个值限制了子树继续划分的条件，如果某节点的样本数少于min_samples_split，则不会继续再尝试选择最优特征来进行划分，默认是2。
    • 如果样本量不大，不需要管这个值。如果样本量数量级非常大，则推荐增大这个值。

  • min_samples_leaf 叶子节点的最小样本数

    • 这个值限制了叶子节点最少的样本数，如果某叶子节点数目小于样本数，则会和兄弟节点一起被剪枝， 默认是1。

    • 叶是决策树的末端节点。 较小的叶子使模型更容易捕捉训练数据中的噪声。

    • 一般来说，我更偏向于将最小叶子节点数目设置为大于50。

  • min_impurity_split: 节点划分最小不纯度

    • 这个值限制了决策树的增长，如果某节点的不纯度(基于基尼系数，均方差)小于这个阈值，则该节点不再生成子节点。即为叶子节点 。

    • 一般不推荐改动默认值1e-7。

• 上面决策树参数中最重要的包括

  • 最大特征数max_features，
  • 最大深度max_depth，
  • 内部节点再划分所需最小样本数min_samples_split
  • 叶子节点最少样本数min_samples_leaf。

4 随机森林预测案例

• 实例化随机森林

# 随机森林去进行预测
rf = RandomForestClassifier()

• 定义超参数的选择列表

param = {"n_estimators": [120,200,300,500,800,1200], "max_depth": [5, 8, 15, 25, 30]}

• 使用GridSearchCV进行网格搜索

# 超参数调优
gc = GridSearchCV(rf, param_grid=param, cv=2)

gc.fit(x_train, y_train)

print("随机森林预测的准确率为：", gc.score(x_test, y_test))

注意

• 随机森林的建立过程
• 树的深度、树的个数等需要进行超参数调优

所有代码

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier


# 1、获取数据
titan = pd.read_csv("./data/titanic.txt")
#2.数据基本处理
#2.1 确定特征值,目标值
x = titan[["pclass", "age", "sex"]]
y = titan["survived"]
#2.2 缺失值处理
x['age'].fillna(x['age'].mean(), inplace=True)
#2.3 数据集划分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=22)
#3.特征工程(字典特征抽取)
# 对于x转换成字典数据x.to_dict(orient="records")，orient:指定把dataframe的数据转换成什么格式
# records格式：[{"pclass": "1st", "age": 29.00, "sex": "female"}, {}]

transfer = DictVectorizer(sparse=False)

x_train = transfer.fit_transform(x_train.to_dict(orient="records"))
x_test = transfer.transform(x_test.to_dict(orient="records"))


# 4.机器学习(随机森林)
# 4.1实例化随机森林
rf = RandomForestClassifier()
#dt = DecisionTreeClassifier()
# 4.2 定义超参数的选择列表
param = {"n_estimators": [60,80,100,120], "max_depth": [3,5,7]}
#param = { "max_depth": [3,5,7]}
# 4.3 使用GridSearchCV进行网格搜索
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
gc = GridSearchCV(rf, param_grid=param, cv=5)
#gc = GridSearchCV(dt, param_grid=param, cv=5)
# 4.4模型训练
gc.fit(x_train, y_train)
# 5.模型评估

print("随机森林预测的准确率为：", gc.score(x_test, y_test))

5 bagging集成优点

Bagging + 决策树/线性回归/逻辑回归/深度学习… = bagging集成学习方法

最常用的方法是 Bagging + 决策树，即随机森林。

经过上面方式组成的集成学习方法:

1. 提高泛化正确率
2. 简单, 方便, 通用

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6 小结

• bagging集成过程【知道】
  • 1.采样 — 从所有样本里面，采样一部分
  • 2.学习 — 训练弱学习器
  • 3.集成 — 使用平权投票
• 随机森林介绍【知道】
  • 随机森林定义
    • 随机森林 = Bagging + 决策树
  • 流程：
    • 1.随机选取m条数据
    • 2.随机选取k个特征
    • 3.训练决策树
    • 4.重复1-3
    • 5.对上面的若决策树进行平权投票
  • 注意：
    • 1.随机选取样本，且是有放回的抽取
    • 2.选取特征的时候吗，选择m<
    • M是所有的特征数
  • 包外估计
    • 如果进行有放回的对数据集抽样，会发现，总是有一部分样本选不到；
  • api
    • sklearn.ensemble.RandomForestClassifier()
• Bagging + 决策树/线性回归/逻辑回归/深度学习… = bagging集成学习方法【了解】
• bagging的优点【了解】
  • 1.均可在原有算法上提高约2%左右的泛化正确率
  • 2.简单, 方便, 通用

5.3 otto案例介绍 – Otto Group Product Classification Challenge

1.背景介绍

奥托集团是世界上最大的电子商务公司之一，在20多个国家设有子公司。该公司每天都在世界各地销售数百万种产品,所以对其产品根据性能合理的分类非常重要。

不过,在实际工作中,工作人员发现,许多相同的产品得到了不同的分类。本案例要求,你对奥拓集团的产品进行正确的分类。尽可能的提供分类的准确性。

链接：https://www.kaggle.com/c/otto-group-product-classification-challenge/overview

2.数据集介绍

• 本案例中，数据集包含大约200,000种产品的93个特征。
• 其目的是建立一个能够区分otto公司主要产品类别的预测模型。
• 所有产品共被分成九个类别（例如时装，电子产品等）。

• id - 产品id
• feat_1, feat_2, …, feat_93 - 产品的各个特征
• target - 产品被划分的类别

3.评分标准

本案例中，最后结果使用多分类对数损失进行评估。

具体公式：

上公式中，

• i表示样本，j表示类别。Pij代表第i个样本属于类别j的概率，
• 如果第i个样本真的属于类别j，则yij等于1，否则为0。
• 根据上公式，假如你将所有的测试样本都正确分类，所有pij都是1，那每个log(pij)都是0，最终的logloss也是0。
• 假如第1个样本本来是属于1类别的，但是你给它的类别概率pij=0.1，那logloss就会累加上log(0.1)这一项。我们知道这一项是负数，而且pij越小，负得越多，如果pij=0，将是无穷。这会导致这种情况：你分错了一个，logloss就是无穷。这当然不合理，为了避免这一情况，我们对非常小的值做如下处理：

• 也就是说最小不会小于10^-15。

5.4 Boosting

学习目标

• 知道boosting集成原理和实现过程
• 知道bagging和boosting集成的区别
• 知道AdaBoost集成原理

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1 什么是boosting

随着学习的积累从弱到强

简而言之：每新加入一个弱学习器，整体能力就会得到提升

代表算法：Adaboost，GBDT

2 实现过程：

1.训练第一个学习器

2.调整数据分布

3.训练第二个学习器

4.再次调整数据分布

5.依次训练学习器，调整数据分布

6.整体过程实现

3 bagging集成与boosting集成的区别：

• 区别一:数据方面
  • Bagging：对数据进行采样训练；
  • Boosting：根据前一轮学习结果调整数据的重要性。
• 区别二:投票方面
  • Bagging：所有学习器平权投票；
  • Boosting：对学习器进行加权投票。
• 区别三:学习顺序
  • Bagging的学习是并行的，每个学习器没有依赖关系；
  • Boosting学习是串行，学习有先后顺序。
• 区别四:主要作用
  • Bagging主要用于提高泛化性能（解决过拟合，也可以说降低方差）
  • Boosting主要用于提高训练精度 （解决欠拟合，也可以说降低偏差）

4 AdaBoost介绍

4.1 构造过程细节：

• 步骤一：初始化训练数据权重相等，训练第一个学习器。

  • 该假设每个训练样本在基分类器的学习中作用相同，这一假设可以保证第一步能够在原始数据上学习基本分类器$H_1(x)$

• 步骤二：AdaBoost反复学习基本分类器，在每一轮m=1,2,…,M顺次的执行下列操作：

  • （a） 在权值分布为$D_t$的训练数据上，确定基分类器,（刚开始每个数据的权重都是1/N，N为数据的个数）；

  • （b） 计算该学习器在训练数据中的错误率，h为预测值，y为真实值：

    ${\epsilon }_t=P(h_t(x_t)\ne y_t)$

  • （c） 计算该学习器的投票权重(该系数是这个分类器用于最终的分类器集成时的系数。)：

    ${\alpha }_t=\frac{1}{2}ln(\frac{1-{\epsilon }_t}{{\epsilon }_t})$

  • （d） 根据投票权重，对训练数据重新赋权（$D_t$是第t轮每个数据的权重分布）,$Z_t$为归一化系数，公式为
    $$\sum _t{D}_t(x)\ast \{\begin{array}{l}{e}^{-{\alpha }_t},预测值=真实值\\ e^{{\alpha }_t}，预测值\ne 真实值\end{array}$$

  • 

    • 将下一轮学习器的注意力集中在错误数据上

  • 重复执行a到d步，m次；

• 步骤三：对m个学习器进行加权投票

  

4.2 关键点剖析（该算法要求基分类器正确率大于0.5，对于二分类很好实现）

如何确认投票权重？

如何调整数据分布？

4.3 案例：

给定下面这张训练数据表所示的数据，假设弱分类器由xv产生，其阈值v使该分类器在训练数据集上的分类误差率最低，试用Adaboost算法学习一个强分类器。

问题解答：

步骤一：初始化训练数据权重相等，训练第一个学习器：

$D_1=(w_{11},w_{12},...,w_{110},)$

$w_{1i}=0.1,i=1,2,...,10$

步骤二：AdaBoost反复学习基本分类器，在每一轮m=1,2,…,M顺次的执行下列操作：

当m=1的时候：

（a）在权值分布为D_1的训练数据上，阈值v取2.5时分类误差率最低，(这里使用深度为1的决策树)故基本分类器为:

6,7,8被分错

（b）计算该学习器在训练数据中的错误率：${\epsilon }_1=P(h_1(x_1)\ne y_1)=0.3$

（c）计算该学习器的投票权重：${\alpha }_1=\frac{1}{2}ln(\frac{1-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1})=0.4236$

（d）根据投票权重，对训练数据重新赋权:

$D_2=(w_{21},w_{22},...,w_{210},)$

根据下公式，计算各个权重值

经计算得，D_2的值为：

$D_2=(0.07143,0.07143,0.07143,0.07143,0.07143,0.07143,0.16667,0.16667,0.16667,0.07143)$

计算过程：

$H_1(x)=sign[0.4236h_1(x)]$,(sign函数为符号函数，大于等于0，为1，小于0为-1.)

分类器H_1(x)在训练数据集上有3个误分类点。

当m=2的时候：

（a）在权值分布为D_2的训练数据上，阈值v取8.5时分类误差率最低，故基本分类器为:

3,4,5被分错

（b）计算该学习器在训练数据中的错误率：${\epsilon }_2=P(h_2(x_2)\ne y_2)=0.2143$

（c）计算该学习器的投票权重：${\alpha }_2=\frac{1}{2}ln(\frac{1-{\epsilon }_2}{{\epsilon }_2})=0.6496$

（d）根据投票权重，对训练数据重新赋权:

经计算得，D_3D3的值为：

$D_3=(0.0455,0.0455,0.0455,0.1667,0.1667,0.1667,0.1060,0.1060,0.1060,0.0455)$

$H_2(x)=sign[0.4236h_1(x)+0.6496h_2(x)]$

分类器H_2(x)在训练数据集上有3个误分类点。

当m=3的时候：

（a）在权值分布为D_3的训练数据上，阈值v取5.5时分类误差率最低，故基本分类器为:

（b）计算该学习器在训练数据中的错误率：${\epsilon }_3=0.1820$

（c）计算该学习器的投票权重：${\alpha }_3=0.7514$

（d）根据投票权重，对训练数据重新赋权:

经计算得，D_4D4的值为：

$D_4=(0.125,0.125,0.125,0.102,0.102,0.102,0.065,0.065,0.065,0.125)$

$H_3(x)=sign[0.4236h_1(x)+0.6496h_2(x)+0.7514h_3(x)]$

分类器H_3(x)H3(x)在训练数据集上的误分类点个数为0。

步骤三：对m个学习器进行加权投票,获取最终分类器

$H_3(x)=sign[0.4236h_1(x)+0.6496h_2(x)+0.7514h_3(x)]$

4.4 api介绍

• from sklearn.ensemble import AdaBoostClassifier
  • api链接:https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier.html#sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier
  • class sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier(base_estimator=None, n_estimators=50,random_state=None）
    • base_estimator：基分类器，默认使用深度为1的决策树。
    • n_estimators：基分类器个数
    • random_state：随机种子

4.5 使用

from sklearn.ensemble import AdaBoostClassifier
import numpy as np
X = np.array([0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]).reshape(-1,1)
y = np.array([1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1])
clf = AdaBoostClassifier(random_state=0)
clf.fit(X, y)

clf.predict([[0]])

clf.score(X, y)

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5 小结

• 什么是Boosting 【知道】
  • 随着学习的积累从弱到强
  • 代表算法：Adaboost，GBDT，XGBoost，LightGBM
• bagging和boosting的区别【知道】
  • 区别一:数据方面
    • Bagging：对数据进行采样训练；
    • Boosting：根据前一轮学习结果调整数据的重要性。
  • 区别二:投票方面
    • Bagging：所有学习器平权投票；
    • Boosting：对学习器进行加权投票。
  • 区别三:学习顺序
    • Bagging的学习是并行的，每个学习器没有依赖关系；
    • Boosting学习是串行，学习有先后顺序。
  • 区别四:主要作用
    • Bagging主要用于提高泛化性能（解决过拟合，也可以说降低方差）
    • Boosting主要用于提高训练精度 （解决欠拟合，也可以说降低偏差）
• AdaBoost构造过程【知道】
  • 步骤一：初始化训练数据权重相等，训练第一个学习器;
  • 步骤二：AdaBoost反复学习基本分类器;
  • 步骤三：对m个学习器进行加权投票

5.5 GBDT介绍

学习目标

• 知道GBDT的算法原理

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GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree，梯度提升树，在传统机器学习算法中，GBDT算的上TOP3的算法。想要理解GBDT的真正意义，那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting 和Decision Tree分别是什么？

1 Decision Tree：CART回归树

首先，GBDT使用的决策树是CART回归树，无论是处理回归问题还是二分类以及多分类，GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。

• 为什么不用CART分类树呢？
  • 因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值，是连续值所以要用回归树。

对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点，那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。

在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数，都是用纯度来衡量的，但是在回归树中的样本标签是连续数值，所以再使用熵之类的指标不再合适，取而代之的是平方误差，它能很好的评判拟合程度。

1.1 回归树生成算法（复习）

• 输入：训练数据集D:
• 输出：回归树f(x).
• 在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：
  • （1）选择最优切分特征j与切分点s，使平方误差最小
  • （2）用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值，即叶子节点的平均值：
  • （3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。

2 Gradient Boosting： 拟合负梯度

梯度提升树（Grandient Boosting）是提升树（Boosting Tree）的一种改进算法，所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。

先来个通俗理解：假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。

提升树算法：

• （1）初始化f_0(x)=0
• （2）对m=1,2,…,M
  • （a）计算残差$r_{mi}=y_i-f_{m-1}(x),i=1,2,,,,,,,N$
  • （b）拟合残差r_{mi}学习一个回归树，得到h_m(x)
  • （c）更新$f_m(x)=f_{m-1}+h_m(x)$
• （3）得到回归问题提升树 $f_M(x)={\sum }_{m=1}^M{h}_m(x)$

---

上面伪代码中的残差是什么？

在提升树算法中，

• 假设我们前一轮迭代得到的强学习器是：f_{t-1}(x)
• 损失函数是：L(y,f_{t-1}(x))
• 我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器：h_t(x)
• 最小化让本轮的损失：$L(y,f_t(x))=L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))$
• 当采用平方损失函数时：

• 这里，$r=y-f_{t-1}(x)$是t-1时刻模型的残差（residual），也是t时刻模型要拟合的值。
• 所以，对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差(即，找一个模型h_t(x)，使其的值等于r)。

回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中，第一次迭代的残差是10岁，第二 次残差4岁,

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当损失函数是平方损失和指数损失函数时，提升树每一步优化是很简单的，但是对于一般损失函数而言，往往每一步优化起来不那么容易。

针对这一问题，Friedman提出了梯度提升树算法，这是利用最速下降的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。

那么负梯度长什么样呢？

• 第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度为：

• 此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度，如果选择平方损失：

• 负梯度为：

此时我们发现GBDT的负梯度就是残差，所以说对于回归问题，我们要拟合的就是残差。

那么对于分类问题呢？

• 二分类和多分类的损失函数都是logloss。

本文以回归问题为例进行讲解。

3 GBDT算法原理

上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了，下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。

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GBDT算法：

• （1）初始化弱学习器：

  • f_0=C
    • （C为所有数据的平均值）

• （2）对m=1,2,…,M有：

  • （a）对每个样本i=1,2,…,N，计算负梯度，使用平方损失时，负梯度为残差，即
    • $r=y-f_{m-1}$
  • （b）将上步得到的残差作为样本新的真实值，训练一个决策树。
  • （c）更新强学习器：
    • f（m） = f（m-1）+h（m）

• （3）得到最终学习器 !

  • f（m）=f（0）+h（1）+…+h（m）

4 实例介绍

4.1 数据介绍

根据如下数据，预测最后一个样本的身高。

编号	年龄(岁)	体重（kg）	身高(m)(标签值)
0	5	20	1.1
1	7	30	1.3
2	21	70	1.7
3	30	60	1.8
4(要预测的)	25	65	？

4.2 模型训练

4.2.1 设置参数：

• 学习率：learning_rate=0.1
• 迭代次数：n_trees=5
• 树的深度：max_depth=2

4.2.2 开始训练

1.初始化弱学习器:

损失函数为平方损失，因为平方损失函数是一个凸函数，直接求导，倒数等于零，得到c。

令导数等于0

所以初始化时，c取值为所有训练样本标签值的均值。

c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475，

此时得到初始学习器f_0(x)：

f_0(x)=c=1.475

2.对迭代轮数m=1,2,…,M:

由于我们设置了迭代次数：n_trees=5，这里的M=5。

计算负梯度，根据上文损失函数为平方损失时，负梯度就是残差，再直白一点就是 y与上一轮得到的学习器f_{m-1}的差值：

残差在下表列出：

编号	真实值	f_{0} (x)	残差
0	1.1	1.475	-0.375
1	1.3	1.475	-0.175
2	1.7	1.475	0.225
3	1.8	1.475	0.325

此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器h_{1} (x)，即下表数据

编号	年龄(岁)	体重（kg）	标签值
0	5	20	-0.375
1	7	30	-0.175
2	21	70	0.225
3	30	60	0.325

接着，寻找回归树的最佳划分节点，遍历每个特征的每个可能取值。

从年龄特征的5开始，到体重特征的60结束，分别计算分裂后两组数据的平方损失（Square Error），

例如：以年龄21为划分节点，将小于21的样本划分为到左节点，大于等于21的样本划分为右节点。左节点包括x_0, x_1 ，右节点包括样本x_2,x_3

$S{E}_l=0.02,S{E}_r=0.005,S{E}_{sum}=0.025$

$S{E}_l=[-0.375-(-0.275){]}^2+[-0.175-(-0.275){]}^2=0.02$

$S{E}_r=[0.225-0.275{]}^2+[0.325-0.275{]}^2=0.005$

所有可能划分情况如下表所示：

划分点	小于划分点的样本	大于等于划分点的样本	SE_l	SE_r	SE_{sum}
年龄5	/	0，1，2，3	0	0.327	0.327
年龄7	0	1，2，3	0	0.14	0.14
年龄21	0，1	2，3	0.02	0.005	0.025
年龄30	0，1，2	3	0.187	0	0.187
体重20	/	0，1，2，3	0	0.327	0.327
体重30	0	1，2，3	0	0.14	0.14
体重60	0，1	2，3	0.02	0.005	0.025
体重70	0，1，3	2	0.26	0	0.26

以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点：年龄21和体重60，所以随机选一个作为划分点，这里我们选 年龄21 现在我们的第一棵树长这个样子：

我们设置的参数中树的深度max_depth=2，现在树的深度只有1，需要再进行一次划分，这次划分要对左右两个节点分别进行划分：

---

对于左节点，只含有0,1两个样本，根据下表我们选择年龄7划分

划分点	小于划分点的样本	大于等于划分点的样本	SE_l	SE_r	SE_{sum}
年龄5	/	0，1	0	0.02	0.02
年龄7	0	1	0	0	0
体重20	/	0，1	0	0.02	0.02
体重30	0	1	0	0	0

对于右节点，只含有2,3两个样本，根据下表我们选择年龄30划分（也可以选体重70）

划分点	小于划分点的样本	大于等于划分点的样本	SE_lSEl	SE_rSEr	SE_{sum}SEsum
年龄21	/	2，3	0	0.005	0.005
年龄30	2	3	0	0	0
体重60	/	2，3	0	0.005	0.005
体重70	3	2	0	0	0

现在我们的第一棵树长这个样子：

此时我们的树深度满足了设置，还需要做一件事情，计算每个叶子节点的预测值。

此时的树长这个样子：即$h_1(x)$

此时可更新强学习器，需要用到参数学习率：learning_rate=0.1，用lr表示。

$$f_1(x)=f_0(x)+h_1(x)$$

为什么要用学习率呢？这是Shrinkage的思想，如果每次都全部加上（学习率为1）很容易一步学到位导致过拟合。

重复此步骤，直到 m>5 结束，最后生成5棵树。

3.得到最后的强学习器：

$$f_1(x)=f_0(x)+h_1(x)+h_2(x)+h_3(x)+h_4(x)+h_5(x)$$

4.预测样本(样本4为待遇测样本）：

• f_0(x)=1.475
• 在f_1(x)中，样本4的年龄为25，大于划分节点21岁，又小于30岁，所以被预测为0.2250;
• 在f_2(x)中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.2025;
• 在f_3(x)中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1823;
• 在f_4(x)中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1640;
• 在f_5(x)中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1476.

最终预测结果：

$f(x)=1.475+0.1\ast (0.225+0.2025+0.1823+0.164+0.1476)=1.56714$

5 代码

案例一：

from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import numpy as np
X = np.array([[5,20],[7,30],[21,70],[30,60]])
y = np.array([1.1,1.3,1.7,1.8])
clf = GradientBoostingRegressor(learning_rate=0.1,n_estimators=5,max_depth=2,random_state=0)
clf.fit(X, y)
clf.predict([[25,65]])

案例二：

from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()
X = pd.DataFrame(boston.data, columns=boston.feature_names)
y = pd.Series(boston.target)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
regressor = GradientBoostingRegressor(
    max_depth=2,
    n_estimators=3,
    learning_rate=1.0
)
regressor.fit(X_train, y_train)
y_pred = regressor.predict(X_test)
y_pred

.225+0.2025+0.1823+0.164+0.1476)=1.56714$

5 代码

案例一：

from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import numpy as np
X = np.array([[5,20],[7,30],[21,70],[30,60]])
y = np.array([1.1,1.3,1.7,1.8])
clf = GradientBoostingRegressor(learning_rate=0.1,n_estimators=5,max_depth=2,random_state=0)
clf.fit(X, y)
clf.predict([[25,65]])

案例二：

from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()
X = pd.DataFrame(boston.data, columns=boston.feature_names)
y = pd.Series(boston.target)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
regressor = GradientBoostingRegressor(
    max_depth=2,
    n_estimators=3,
    learning_rate=1.0
)
regressor.fit(X_train, y_train)
y_pred = regressor.predict(X_test)
y_pred