note-3

图

  图是研究离散对象的最常用和最基础的概念，这里我们暂不关注其应用，只看相关算法。

  最简单的图如上所示，边只表示“两个点相连”，是“无权”、“无向”的。
  另一方面，有些图的边是单向的（类似交通图中的单行道），这类图被称为有向图；另一些图图的边也可以加入权重，被称为有权图

储存方式

  在数学上，图一般被表示为二元组$G=(V,E)$，$V$表示节点，$E$表示连接节点的边。（具体上怎么储存是很自由的）
  从数据结构上来讲，图可以表示为：

class Graph:
	n		# 节点数量 
	val=[] 	# 节点的值
	adj=[]	# 储存任意两点是否相连

  一般来讲，储存边有两种方法：

• 邻接矩阵：用一个$n\times n$的矩阵$\mathbf{A}$（其实就是二维数组）储存。
  • 无权图： 当$u，v$不相连时，${\mathbf{A}}_{u,v}=0$；反之，${\mathbf{A}}_{u,v}=1$
  • 有权图：当$u，v$不相连时，${\mathbf{A}}_{u,v}=\text{inf}$；反之，${\mathbf{A}}_{u,v}=w$；$\text{inf}$是一个大数，表示两节点距离无限远，而$w$是边的权重
• 邻接表：用一个长度为$n$的链表数组$\mathbf{A}[n]$储存，只有当$u，v$相连时，节点$v$才插入$\mathbf{A}[u]$中。

以邻接矩阵为例，写出图的构造方法：
（我们假设首先输入$n，k$，分别表示节点数量和边的数量，接下来$k$行，每行给出一条边连接的节点）

	def __init__(self):		# 当然这是一个无向无权图
		self.n,k=map(int,input())
		self.adj=[[0 for i in range(self.n)] for j in range(self.n)]	# 将adj初始化为nxn的0矩阵
		for i in range(k):
			u,v=map(int,input())
			self.adj[u][v]=self.adj[v][u]=1		# 注意无向图的矩阵是对称的

图的遍历

  既然树是一种特殊的图，那么图也会有类似于有序遍历以及层次遍历的算法。图的遍历分为两类。

深度优先搜索DFS

  DFS会不断移动到第一个它能访问的新节点，直到它到达一个不连接新节点的位置，此时它会回退，去访问下一个新节点。下图给了一个DFS访问顺序的例子。

  可以感觉到，DFS和有序遍历非常类似，所以这个算法的实现也是我们熟悉的，只不过，由于图缺少天然的层次结构，我们不能根据节点的位置知道哪些节点访问过，因此，为了避免重复访问,我们需要用一个数组vis来记录某个节点是否访问过。DFS的递归实现如下：（当然可以用栈）

vis
G
def dfs(int u):	# 
	global vis,G
	vis[u]=1	# 将u标记为访问过
	print(u)	# 这里可以执行任意操作
	for v in range(G.n):
		if vis[v]==0 and G.adj[u][v]==1:	# 如果与u相连的节点v没访问过
			dfs(v)		# 移动到v，继续搜索

if __name__=="__main__":
	G=Graph()	# 构造一个图
	vis=[0 for i in range(G.n)]	# vis初值为0，表示所有节点都没访问过
	for u in range(G.n):		# 考虑这里为什么要循环
		if vis[u]==0:			# 如果节点u未访问过，则从u开始dfs
			dfs(u)		

广度优先搜索BFS

  BFS会先记录当前位置能访问到的所有新节点，然后依次访问它们；在到达一个新节点时，算法会重复记录的过程，在访问了第一次记录的所有节点后，它会接着访问第二次记录的节点；直到访问了所有节点。

这和层次遍历非常类似，所以我们也可以用队列实现：

G=Graph()
queue=[]
vis=[0 for i in range(G.n)]
for x in range(G.n):
	if vis[x]==0:
		queue.push(x)
		vis[x]=1
		while len(queue) != 0:
			u=queue.pop(0)
			vis[u]=1
			print(u)	# 访问u
			for v in range(G.n):
				if vis[v] == 0 and G.adj[u][v] == 1:
					queue.push(v)

接下来的部分会在算法部分讲

最小生成树

最短路算法

网络流

割顶

二分图

习题

基础

• 程序运行时间 （处理输入，计算）
• 查验身份证（特判字符，处理输入）
• 说反话（字符串处理，c++可以学下cin怎么用）
• 字符统计 （字符串处理，映射）

图

• 深入虎穴（凸的遍历）
• 路径和II（dfs）
• 网红点打卡攻略（最短路）
• 计算图（dfs）
• 二叉树中所有距离为k的节点（bfs）
• 最接近目标值的子序列和（二分法）