洛谷：P1714 切蛋糕（玩转单调队列）

一、题目

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二、题解和思路

        这题是要我们在长度为n的区间里找到一个长度小于等于m的子区间并使得区间和最大，解决这题我们可以考虑对于给定的数据，让每一个数据去向前遍历求得最大和，然后依次和每一项数据的小于等于前m项求得的最大和去比较，找到这样的前m项最大和。

如下表对案例n = 5,m=2 {1 2 3 4 5}的演示：

起始项	已起始项去找到的最大和的过程	Max
1	1+2	3
2	2+3	5
3	3+4	7
4	4+5	9

所以最大和为9

如果数据很大,n和m很大时，O（n*m)那便显得有点无力，能否有更简便的方法？

  下面我们来了解什么是单调队列：

单调队列，顾名思义，是一种具有单调性的队列。众所周知，单调性有单调递增和单调递减两种，相应的单调队列也分为单调递增队列和单调递减队列两种。

• 单调递增队列：保证队列头元素一定是当前队列的最小值，用于维护区间的最小值。

• 单调递减队列：保证队列头元素一定是当前队列的最大值，用于维护区间的最大值。

 实现流程：

实现单调队列，主要分为三个部分：

• 去尾操作 ：队尾元素出队列。当队列有新元素待入队，需要从队尾开始，删除影响队列单调性的元素，维护队列的单调性。(删除一个队尾元素后，就重新判断新的队尾元素)

去尾操作结束后，将该新元素入队列。

• 删头操作 ：队头元素出队列。判断队头元素是否在待求解的区间之内，如果不在，就将其删除。（这个很好理解呀，因为单调队列的队头元素就是待求解区间的极值）

• 取解操作 ：经过上面两个操作，取出 队列的头元素 ，就是 当前区间的极值 。

我们以案例为例： n=6,m=3 {1 -2 3 -4 5 -6}

它的前缀和为1 -1 2 -2 3 -3

从前缀和我们可以看出数据的单调性，因为对于每一项前缀和来说，它都是对于前n项的和。也就意味这，它的和变小了，它就递减了。同理，它的和变大了，那它就递增了。

这个时候我们引入了一个单调队列。

队首维护一个最小的和。

我们可以逆向的去想，把要求以这项数据为起点去找最大变成以这项数据为终点，去找到达这项数据的前m和最大是多少？对于每一个到达该数据的区间的区间和都有sum[i]-sum[i-x]（其中x∈【1，k】，其中因为是对于第i项数据来说，求得最大区间和，sum[i]是固定的但因为x在变。说以只要保证sum[i-x]最小，那区间和不是最大的吗？

我们画图理解对于案例的前缀和创建i 和 sum[i]的图标，去探索理解这个问题的本质。

 如我们要求到达3的前m项和最大那我们只要用sum[3]（2）减去最小的在区间内的-1（i=2时的sum[2])

得到结果3

同理要求到达5的前m项和最大那我们只要用sum[5]（3）减去最小的在区间内的-2 （i=4时的sum[4]）得到结果5

这样我们就可以一次找到区间并迅速对比找到

要注意的是，由于可能出现初始入队元素全为递增的情况，导致不能算到第一个可能使得和最大的数，所以我们要在队头加一个0，以便计算到第一个元素的值。

如这样一组数据 5 6 7 8 9 -2 -2 -2 -2   ....求 m=5时的最大，当-2要入队前，队列中为 5 6 7 8 9，如果没有在对队头加0，这时的和为 （6+7+8+9）也就是30，不能算到5，因为计算和时是5是为队头的开区间。如果有0，当-2要入队时，此时队列就变成了  0 5 6 7 8 9 最大和就变成了35，这时的正确答案。

接下来我们用表格演示一下实现原理帮组大家理解：

1.           案例一 ：1 2 3 4 5   n = 5 , m =2

                前缀和为：1 3 6 10 15

现队列情况	队列操作	要求的Max
0-	初始化队头加个0	0
0 1	1>0入队	1
0 1 3	3>1入队	3-0=3
1 3 6	6>3入队，但队列长度大于3 ，0出队	6-1=5
3 6 10	同上............	10-3=7
6 10 15	.............	15-6=9

所以答案为9

2.         案例二           1 -2 3 -4 5 -6   n =6 ,m = 3

                前缀和为：1 -1 2 -2 3 -3

现队列情况	队列操作	要求的Max
0	初始化队头加个0	0
0 1	1>0,1出队	1-0=1
-1	-1<1,1出队	1
-1  2	2>--1,2入队	2-（-1）=3
-1  -2	-2<2,2出队,-2入队	max(-2 - (-1) ,3)=3
-2  3	3>-2,3入队，-1超出区间范围出队	max(3-(-2),3)=5
-3	--3<3,-3<-2 , -2,3出队，-3进队	5

答案为 5 

可以看出队列是单调递增的，计算和时，对头并不记入范围。队列中的长度为m+1，可以直观的找到区间最大和，我们可以直观的看出为什么队列初始时头部为0的作用。

三、代码区

#include
using namespace std;
int x,sum[500005],que[500005],m,n,front,rear,Max,S;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i =1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		sum[i]=sum[i-1]+x;//前缀和 
	}
	front=rear=1;//先在队列中添加个sum[0]=0 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(front<=rear&&que[front]=sum[i])rear--; //保证队列的单调性			
		que[++rear]=i;
	} 
	cout<

附上结果：