Stata:工具变量法(两阶段最小二乘法2SLS)——解决模型内生性

计量良心OLS大法在解释变量与扰动项不相关时较为常用,一旦二者出现相关性往往无法解决,此时OLS估计可能不一致,问题产生原因可能是遗漏变量、联立偏差等。较为常见的解决方法是使用工具变量法。
本文以 y = a 0 + a 1 ∗ c + u i y=a0+a1*c+ui y=a0+a1c+ui为例, y y y为被解释变量, c c c为解释变量,但模型有内生性,此时选取工具变量为 x x x

工具变量的选择

首先工具变量的选择要满足两个条件:

  • 相关性:工具变量与内生解释变量相关,即 C o v ( x , c ) ≠ 0 Cov(x,c)≠0 Covxc=0
  • 外生性:工具变量与 u i ui ui不相关,即 C o v ( x , u i ) = 0 Cov(x,ui)=0 Covxui=0

两阶段最小二乘法

  • 核心思路:c与ui相关,将c中与ui相关的部分分力出去,只留下与其不相关部分;其中转换工具被称为工具变量(IV)。
通过工具变量x重新拟合
用来代替c进行估计
c
c_hat
与ui相关
与ui不相关
y=a0+a1*c_hat+ei
得出a0,a1即为估计参数

第一阶段

构造 c = b 0 + b 1 ∗ x + v i c=b0+b1*x+vi c=b0+b1x+vi,通过OLS估计的参数,拟合出 c ^ \hat{c} c^。此时c与ui相关, c ^ \hat{c} c^与ui不相关

第二阶段

通过y与 c ^ \hat{c} c^构模型 y = b 0 + b 1 ∗ c ^ + e i y=b0+b1*\hat{c}+ei y=b0+b1c^+ei,估计出 b 1 , b 0 b1,b0 b1b0即为需求参数。
tips:证明 c ^ \hat{c} c^ e i ei ei正交
通过模型 c = a 0 + a 1 ∗ x + v i c=a0+a1*x+vi c=a0+a1x+vi估计出 a 0 , a 1 a0,a1 a0,a1,再拟合出 c ^ = a 0 + a 1 ∗ x \hat{c}=a0+a1*x c^=a0+a1x

原模型 y = a 0 + a 1 ∗ c + u i y=a0+a1*c+ui y=a0+a1c+ui可化为:
y = a 0 + a 1 ∗ c ^ + [ a 1 ∗ ( c − c ^ ) + u i ] y=a0+a1*\hat{c}+[a1*(c-\hat{c})+ui] y=a0+a1c^+[a1(cc^)+ui]

其中 e i = [ a 1 ∗ ( c − c ^ ) + u i ] ei=[a1*(c-\hat{c})+ui] ei=[a1(cc^)+ui]
C o v ( c ^ , e i ) = C o v ( c ^ , u i ) + a 1 C o v ( c ^ , c − c ^ ) Cov(\hat{c},ei)=Cov(\hat{c},ui)+a1Cov(\hat{c},c-\hat{c}) Cov(c^,ei)=Cov(c^,ui)+a1Cov(c^,cc^)

  • 其中 c − c ^ = v i , C o v ( c ^ , v i ) = 0 c-\hat{c}=vi,Cov(\hat{c},vi)=0 cc^=vi,Cov(c^,vi)=0,所以 a 1 C o v ( c ^ , c − c ^ ) = 0 a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})=0 a1Cov(c^,cc^)=0
  • 由于外生性要求:工具变量与 u i ui ui不相关,即 C o v ( x , u i ) = 0 Cov(x,ui)=0 Covxui=0,而 x x x c ^ \hat{c} c^为线性函数,所以 C o v ( c ^ , u i ) = 0 Cov(\hat{c},ui)=0 Cov(c^,ui)=0
    进而得出 c ^ \hat{c} c^ e i ei ei正交,即 C o v ( c ^ , e i ) = 0 Cov(\hat{c},ei)=0 Cov(c^,ei)=0

相关检验

首先对于选用OLS还是工具变量法,需要进行豪斯曼检验
此方法中工具变量的选取最为关键,可能有三种情况:

  • 不可识别:需要工具变量个数<内生变量个数
  • 恰好识别:需要工具变量个数=内生变量个数
  • 过度识别:需要工具变量个数>内生变量个数
    其对应需要进行的检验为:
  • 不可识别检验
  • 弱工具变量检验
  • 过度识别检验
    代码相关
    https://blog.csdn.net/weixin_47325163/article/details/119941326?spm=1001.2014.3001.5501

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