Stata：工具变量法（两阶段最小二乘法2SLS）——解决模型内生性

计量良心OLS大法在解释变量与扰动项不相关时较为常用，一旦二者出现相关性往往无法解决，此时OLS估计可能不一致，问题产生原因可能是遗漏变量、联立偏差等。较为常见的解决方法是使用工具变量法。
本文以$y=a0+a1\ast c+ui$为例，$y$为被解释变量，$c$为解释变量，但模型有内生性，此时选取工具变量为$x$。

工具变量的选择

首先工具变量的选择要满足两个条件：

• 相关性：工具变量与内生解释变量相关，即$Cov（x，c）\ne 0$
• 外生性：工具变量与$ui$不相关，即$Cov（x，ui）=0$

两阶段最小二乘法

• 核心思路：c与ui相关，将c中与ui相关的部分分力出去，只留下与其不相关部分；其中转换工具被称为工具变量（IV）。

通过工具变量x重新拟合

用来代替c进行估计

c

c_hat

与ui相关

与ui不相关

y=a0+a1*c_hat+ei

得出a0,a1即为估计参数

第一阶段

构造$c=b0+b1\ast x+vi$，通过OLS估计的参数，拟合出$\hat{c}$。此时c与ui相关，$\hat{c}$与ui不相关

第二阶段

通过y与$\hat{c}$构模型$y=b0+b1\ast \hat{c}+ei$，估计出$b1，b0$即为需求参数。
tips：证明$\hat{c}$与$ei$正交
通过模型$c=a0+a1\ast x+vi$估计出$a0,a1$，再拟合出$\hat{c}=a0+a1\ast x$

原模型$y=a0+a1\ast c+ui$可化为：
$y=a0+a1\ast \hat{c}+[a1\ast (c-\hat{c})+ui]$

其中$ei=[a1\ast (c-\hat{c})+ui]$
$Cov(\hat{c},ei)=Cov(\hat{c},ui)+a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})$

• 其中$c-\hat{c}=vi,Cov(\hat{c},vi)=0$，所以$a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})=0$
• 由于外生性要求：工具变量与$ui$不相关，即$Cov（x，ui）=0$，而$x$与$\hat{c}$为线性函数，所以$Cov(\hat{c},ui)=0$
  进而得出$\hat{c}$与$ei$正交，即$Cov(\hat{c},ei)=0$

相关检验

首先对于选用OLS还是工具变量法，需要进行豪斯曼检验
此方法中工具变量的选取最为关键，可能有三种情况：

• 不可识别：需要工具变量个数<内生变量个数
• 恰好识别：需要工具变量个数=内生变量个数
• 过度识别：需要工具变量个数>内生变量个数
  其对应需要进行的检验为：
• 不可识别检验
• 弱工具变量检验
• 过度识别检验
  代码相关
  https://blog.csdn.net/weixin_47325163/article/details/119941326?spm=1001.2014.3001.5501