【opencv-python】大津法（Otsu）阈值分割原理深入分析

大津法（Otsu）是图像处理领域里面较为重要的阈值分割方法，适用于处理双峰图像。但大多数开发人员并不熟悉其原理，因此有必要对其进行详细说明与分析。

opnecv的实例代码链接为：
opencv-python大津法（Otsu）官方说明文档
python代码为：

img = cv2.imread('road.jpg',0)
blur = cv2.GaussianBlur(img,(5,5),0)
# find normalized_histogram, and its cumulative distribution function
hist = cv2.calcHist([blur],[0],None,[256],[0,256])
hist_norm = hist.ravel()/hist.max()
Q = hist_norm.cumsum()
bins = np.arange(256)
print(bins)
fn_min = np.inf
thresh = -1
for i in range(1,256):
    p1,p2 = np.hsplit(hist_norm,[i]) # probabilities
    q1,q2 = Q[i],Q[255]-Q[i] # cum sum of classes
    b1,b2 = np.hsplit(bins,[i]) # weights

    # finding means and variances
    m1,m2 = np.sum(p1*b1)/q1, np.sum(p2*b2)/q2
    v1,v2 = np.sum(((b1-m1)**2)*p1)/q1,np.sum(((b2-m2)**2)*p2)/q2

    # calculates the minimization function
    fn = v1*q1 + v2*q2
    if fn < fn_min:
        fn_min = fn
        thresh = i
# find otsu's threshold value with OpenCV function
ret, otsu = cv2.threshold(blur,0,255,cv2.THRESH_BINARY+cv2.THRESH_OTSU)
print (thresh,ret)

下面对关键代码进行分析：

blur = cv2.GaussianBlur(img,(5,5),0)

用高斯滤波器对图像进行模糊操作，高斯核大小为5✖️5，参考说明，得到模糊后的图像变量blur。

hist = cv2.calcHist([blur],[0],None,[256],[0,256])

这句代码得到了blur图像的灰度直方图，函数calcHist定义可参考说明，得到了代表blur图像灰度分布的对象hist，hist为256行1列的数组，数据类型为numpy.ndarray，每个元素为该位置对应灰度值所对应的像素数，部分灰度值对应的像素数如下图所示：

hist_norm = hist.ravel()/hist.max()
Q = hist_norm.cumsum()

hist_norm代表由每个灰度对应像素数量与某个最大像素数比值构成的数组，shape为[256,1]（由于hist.ravel()），新数组Q中的每个元素表示hist_norm中每个元素与前所有元素的累加和。假设图像被阈值$T$所分割，在灰度值小于$T$的区间内（灰度直方图左侧），将灰度值为$i$的像素个数定义为$P(i)$，在一张图像里的256个灰度值中，像素个数最大的灰度值定义为$P_m$；同理在灰度直方图右侧，分别定义为$Q(i),Q_m$。令：$$p(i)=P(i)/P_m$$$$q(i)=Q(i)/Q_m$$
定义：$$s_1=\sum _{i=0}^{T}p(i)$$$$s_2=\sum _{i=T}^{255}q(i)$$定义平均值：$$m_1=\sum _{i=0}^i(i\ast p(i))/s_1$$$$m_2=\sum _{i=T}^{255}(i\ast q(i))/s_2$$定义方差：$$v_1=\sum _{i=0}^T(i-m_1{)}^2\ast p(i)/s_1$$$$v_2=\sum _{i=T}^{255}(i-m_2{)}^{2}q(i)/s_2$$定义目标函数$f_n=v_1+v_2$，大津法认为：最合适的阈值$T$，就是令目标函数$f_n$取最小值的那一个，实现代码段为：

for i in range(1,256):
   p1,p2 = np.hsplit(hist_norm,[i]) # probabilities
   print('i', i, 'p1,p2', p1, '---', p2)
   q1,q2 = Q[i],Q[255]-Q[i] # cum sum of classes
   b1,b2 = np.hsplit(bins,[i]) # weights

   # finding means and variances
   m1,m2 = np.sum(p1*b1)/q1, np.sum(p2*b2)/q2
   #v1,v2 = np.sum(((b1-m1)**2)*p1)/q1, np.sum(((b2-m2)**2)*p2)/q2
   v1,v2 = np.sum(((b1-m1)**2)*p1), np.sum(((b2-m2)**2)*p2)
   fn = v1 + v2

   # calculates the minimization function
   #fn = v1*q1 + v2*q2

   if fn < fn_min:
       fn_min = fn
       thresh = i

至此，Otsu阈值分割法推导完毕。问题：为什么令$f_n$最小的阈值$T$就是最合适的$T$?欢迎大家入群深入交流。

下面我们对其原理进行验证，我们找一张双峰图像，如下图所示：

我们将这张图片的灰度直方图打开，呈现出来如下图所示：
可以看出，灰度直方图呈现出近似双峰图像的特点，灰度值较低处体现的是图像中下方“马路”附近的大片像素，灰度值较高处体现的是图像中上方“蓝天”中的大片像素。我们用大津法对其进行分割，效果如下图所示：
代码：

import cv2
import numpy as np
from numpy.core.fromnumeric import shape
from PIL import Image
#plotly
import plotly as py
import plotly.graph_objs as go

img = cv2.imread('road.jpg',0)
img1 = np.ravel(img)
print('type', type(img1), img1.shape, img1)
pyplt = py.offline.plot
data = [go.Histogram(x=img1, histnorm = 'probability')] 
ret, th2 = cv2.threshold(img,0,255,cv2.THRESH_BINARY_INV + cv2.THRESH_OTSU)
print('ret', ret, cv2.THRESH_BINARY_INV, cv2.THRESH_OTSU
pyplt(data)
self.show_img(img, 'road')
self.show_img(th2, 'th2')

将cv2函数计算得到的阈值和我自己计算的阈值打印出来，均为157，说明大津法计算正确。