线性代数复习 第五章 特征值和特征向量

第五章 特征值与特征向量

5.1 特征值与特征向量

基本概念

有 n 阶方阵 A，非零 n 维列向量 α，若存在数 λ ，使得关系式

Aα=λα

成立，那么称 λ 为矩阵 A 的一个 特征值，对应 α 就是 特征向量。

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设 n 阶矩阵 A=(aij)，那么行列式

|λE−A|=∣∣∣∣∣∣λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋮⋯−a1n−a2n⋮λ−ann∣∣∣∣∣∣

称为特征多项式，而 |λE−A|=0 就是特征方程，方程的根就是矩阵 A 的特征值。

总结起来就是

λ 是矩阵 A 的一个特征值  ⇔  存在非零向量 α ，使得 Aα=λα ⇔ |λE−A|=0

矩阵的迹（trace）定义为矩阵对角线元素的和，记做

tr(A)=a11+a22+⋯+ann

基本性质

设方阵 A 的特征值为 λ，则有

方阵	特征值	方阵	特征值
kA	kλ	aA+bE	aλ+b
A2	λ2	f(A)	f(λ)
A−1	1λ	A∗	|A|λ

而且这些矩阵的特征量都是一样的。

• A 和 AT 的特征值相同，但是特征向量很不同。

• 设 λ1,...,λn 为矩阵 A 的 n 个特征值，那么

  ∑i=1nλi=∑i=1naii=tr(A)
  ∏i=1nλi=|A|
  即特征值的和是矩阵的迹，特征值的积是矩阵的行列式。

• 幂零矩阵（ Ak=0 ）的特征值只能是 0
• 特征值都为零的矩阵一定是幂零矩阵，但不一定是零矩阵。
• 幂等矩阵（A2=A）的特征值只能是 0 和 1

对于矩阵 A ，属于不同特征值的向量线性无关；若 λ 是 k 重根，那么属于该特征根的特征向量至多有 k 个。

计算特征值与特征向量

要求解特征值，直接解特征方程即可，然后带入到原始矩阵里，得到的基础解系就是特征向量。

5.2 相似矩阵与矩阵的对角化

基本概念和性质

设 A,B 都是 n 阶方阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P ，使得

P−1AP=B

则称矩阵 A 和 B 相似，记做 A∼B 。

• 若 A∼B ，则 B∼A
• 若 A∼B, A∼C 则 B∼C

能和对角矩阵（即除了对角线上的元素其他元素都为零的矩阵）相似的矩阵，称作可对角化矩阵。

如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的特征多项式、特征值、迹、行列式和秩全部都相同。反之则不成立。

定理： n 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（即 A 的 k 重根有 k 个线性无关的特征向量）

即 A 可对角化 ⇔ λi 为 ki 重根，则属于 λi 的线性无关的特征向量的个数

n−r(λiE−A)=ki

当然暴力一点，如果有 n 个不同的特征根，则 A 相似于对角矩阵。反之却不成立。

矩阵的相似对角化的步骤

1. 求解特征方程 |λE−A|=0 ，可以得到所有不同的特征值 λ1,...,λm
2. 对每个特征值 λi ，求对应的线性无关的特征向量
   
   • 想要求特征向量，则要求 (λiE−A)x=0 ，其基础解系就是特征向量
   • 若 λi 为 k 重特征值，可能线性无关的特征向量不够 k 个，那么矩阵不可以对角化
3. 若矩阵 A 可以对角化，所有线性无关的特征向量可以构成可逆矩阵 P ，使得
   P−1AP=Λ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢λ1⋱λ1⋱λm⋱λm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

对角矩阵 Λ 中空白的部分为 0 .

实对称矩阵的相似对角化

特征值都是实数，且矩阵的转置等于本身的矩阵称作是实对称矩阵，还有下面的性质

• 实对称矩阵的不同特征值的特征向量必然正交
  
  • 正交啊，亲！这么好的性质去哪里找。
• 实对称矩阵的 k 重特征值恰好对应 k 个线性无关的特征向量。

定理： n 阶实对称矩阵 A 正交相似于对角矩阵，即存在正交矩阵 Q ，使得

Q−1AQ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋱λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

求解正交矩阵 Q 的步骤：
1. 求出 A 的特征值
2. 求解每个特征值对应的 (A−λiE)X=0 的基础解系，在 Schmidt 正交化，单位化。
3. 把上面正交化，单位化后的向量，构成正交矩阵 Q