最长递增子序列

解法一：转化为最长公共子序列

首先将数组排序，最长递增子序列转化为最长公共子序列问题。

• 设数组 { 3， 9， 7， 1， 5， 8 } 为 A
• 对数组 A 排序，排序后的数组为 B = { 1， 3， 5， 7， 8， 9 }
• 于是，求数组 A 的最长递增子序列，就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列

这个方法时间复杂度为 $O(n^2)$

解法二：动态规划法

解法一中转化问题后使用动态规划，这里不进行转化而直接在原问题上用动态规划。

最优子结构：
对于长度为N的数组$A[N]=\{a_0,a_1,\cdots ,a_n\}$，令$L[i]$为以$a_i$结尾的最长递增子序列，那么有
$$L[n]=\underset{0\le i<n,a_i<a_n}{\max }\{L[i]+1\}$$

//得到L[i]
for(i = 0; i < len; i++){
	lis[i] = 1;
	for(j = 0; j < i; j++){
		if(a[i] > a[j] && lis[i] < lis[j] + 1)
			lis[i] = lis[j] + 1;
	}
}

这个方法时间复杂度为$O(n^2)$

解法三：有序辅助数组

具体操作如下：

• 建立一个辅助数组$array$，依次读取数组元素$x$与数组末尾元素$top$比较：
  • $x>top:$将$x$放在数组末尾
  • $x<top:$二分查找数组中第一个大于$x$的数，并用$x$替换

结束一遍遍历后，$array$中元素个数即为最长递增子序列的长度，与前面方法不同的是，方法三并不能得到最长递增子序列，而只能得到他的长度，但是时间复杂度达到了$O(n\log n)$。

算法正确性说明：

• 首先，$array$中存放的是有序的元素，因此可以用二分查找
• 其次，观察可以发现，$array[i]$中的元素的含义是长度为$\mathbf{i}+1$的递增子序列的末尾元素的最小值，或者说
  $$array[i]=\min \{a[m_i]|\exists m_0<\cdots <m_i,a[m_0]<\cdots <a[m_i]\}$$
• 以上两条性质通过数学归纳法比较容易证明，算法的正确性也就一目了然了

这就是我第一篇博客的全部内容了。