巴特沃斯滤波器详解

巴特沃斯滤波器

这里不再赘述低通、高通、带通、带阻滤波器等

巴特沃斯（Butterworth）滤波器在现代设计方法设计的滤波器中，是最为有名的滤波器，由于它设计简单，性能方面又没有明显的缺点，又因它对构成滤波器的元件Q值较低，因而易于制作且达到设计性能，因而得到了广泛应用。其中，巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。

巴特沃斯滤波器传递函数

巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示：
$$|H(\omega ){|}^2=\frac{1}{1+(\frac{\omega }{{\omega }_c}{)}^{2n}}=\frac{1}{1+{ϵ}^2(\frac{\omega }{{\omega }_p}{)}^{2n}}$$
其中，$n$为滤波器的阶数，${\omega }_c$为截至频率，即振幅下降为$-3dB$时的频率，${\omega }_p$为通频带边缘频率。

下图为巴特沃斯滤波器的频率响应图

当$n->\infty$时，得到一个理想的低通滤波反馈: $\frac{\omega }{{\omega }_c}<1$时，增益为1；$\frac{\omega }{{\omega }_c}>1$时，增益为0；$\frac{\omega }{{\omega }_c}=1$时，增益为0.707

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。

python代码

from scipy import signal

1、低通滤波

这里假设采样频率为1000hz,信号本身最大的频率为500hz，要滤除400hz以上频率成分，即截至频率为400hz,则wn=2*400/1000=0.8。Wn=0.8

b, a = signal.butter(8, 0.8, 'lowpass')   #配置滤波器 8 表示滤波器的阶数
filtedData = signal.filtfilt(b, a, data)  #data为要过滤的信号

2、高通滤波

这里假设采样频率为1000hz,信号本身最大的频率为500hz，要滤除100hz以下频率成分，即截至频率为100hz,则wn=2*100/1000=0.2。Wn=0.2

b, a = signal.butter(8, 0.2, 'highpass')   #配置滤波器 8 表示滤波器的阶数
filtedData = signal.filtfilt(b, a, data)  #data为要过滤的信号

3、带通滤波

这里假设采样频率为1000hz,信号本身最大的频率为500hz，要滤除100hz以下，400hz以上频率成分，即截至频率为100，400hz,则wn1=2100/1000=0.2，Wn1=0.2； wn2=2400/1000=0.8，Wn2=0.8。Wn=[0.02,0.8]

b, a = signal.butter(8, [0.2,0.8], 'bandpass')   #配置滤波器 8 表示滤波器的阶数
filtedData = signal.filtfilt(b, a, data)  #data为要过滤的信号

4、带阻滤波

这里假设采样频率为1000hz,信号本身最大的频率为500hz，要滤除100hz以上，400hz以下频率成分，即截至频率为100，400hz,则wn1=2100/1000=0.2，Wn1=0.2； wn2=2400/1000=0.8，Wn2=0.8。Wn=[0.02,0.8]，和带通相似，但是带通是保留中间，而带阻是去除。

b, a = signal.butter(8, [0.2,0.8], 'bandstop')   #配置滤波器 8 表示滤波器的阶数
filtedData = signal.filtfilt(b, a, data)  #data为要过滤的信号

函数介绍

scipy.signal.filtfilt(b, a, x, axis=-1, padtype='odd', padlen=None, method='pad', irlen=None)

输入参数：
b: 滤波器的分子系数向量
a: 滤波器的分母系数向量
x: 要过滤的数据数组。（array型）
axis: 指定要过滤的数据数组x的轴
padtype: 必须是“奇数”、“偶数”、“常数”或“无”。这决定了用于过滤器应用的填充信号的扩展类型。{‘odd’, ‘even’, ‘constant’, None}
padlen：在应用滤波器之前在轴两端延伸X的元素数目。此值必须小于要滤波元素个数- 1。（int型或None）
method：确定处理信号边缘的方法。当method为“pad”时，填充信号；填充类型padtype和padlen决定，irlen被忽略。当method为“gust”时，使用古斯塔夫森方法，而忽略padtype和padlen。{“pad” ，“gust”}
irlen：当method为“gust”时，irlen指定滤波器的脉冲响应的长度。如果irlen是None，则脉冲响应的任何部分都被忽略。对于长信号，指定irlen可以显著改善滤波器的性能。（int型或None）

输出参数：
y:滤波后的数据数组


scipy.signal.butter(N, Wn, btype='low', analog=False, output='ba')

输入参数：
N:滤波器的阶数
Wn：归一化截止频率。计算公式Wn=2*截止频率/采样频率。（注意：根据采样定理，采样频率要大于两倍的信号本身最大的频率，才能还原信号。截止频率一定小于信号本身最大的频率，所以Wn一定在0和1之间）。当构造带通滤波器或者带阻滤波器时，Wn为长度为2的列表。
btype : 滤波器类型{‘lowpass’, ‘highpass’, ‘bandpass’, ‘bandstop’},
output : 输出类型{‘ba’, ‘zpk’, ‘sos’}

输出参数：
b，a: IIR滤波器的分子（b）和分母（a）多项式系数向量。output='ba'
z,p,k: IIR滤波器传递函数的零点、极点和系统增益. output= 'zpk'
sos: IIR滤波器的二阶截面表示。output= 'sos'

最后附上matlab实现代码

fs = 1000 ; %信号的采样频率
wp=[8 30]*2/fs; %通带边界频率 ，单位为rad/s
ws=[7 32]*2/fs; %阻带边界频率 ，单位为rad/s
Rp=1;           %通带最大波纹度 ，单位dB (不要太小)
Rs=30;          %表示阻带最小衰减，单位dB
[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs);%巴特沃斯数字滤波器的阶数n和-3dB归一化截止频率Wn

[B,A]=butter(N,Wn);%得到n阶巴特沃斯滤波的分子分母
dataOut = filter(B,A,dataIn);