线性代数/判断向量组是否线性相关/定义与例题
向量组线性相关
-
- 定义
- 例题
定义
向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,⋯,αs(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks,使
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0
例题
判断下列向量组是否线性相关：
α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=⎣⎢⎢⎡−2−5−3−4⎦⎥⎥⎤,α2=⎣⎢⎢⎡−511310⎦⎥⎥⎤,α3=⎣⎢⎢⎡−3−7−1−6⎦⎥⎥⎤,α4=⎣⎢⎢⎡−13−30−12−26⎦⎥⎥⎤,
例题来源：《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76
设 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4∈R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0
即：
{ 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2k1−5k13k1−4k1−5k2+11k2+3k2+10k2−3k37k3−1k36k3+13k4−30k4+2k4−26k4=0=0=0=0
写成矩阵形式即为：
[ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡2−53−4−511310−37−1613−302−26⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡k1k2k3k4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤
经过矩阵的初等行变换，我们得到上面的方程组与下面的方程组等价：
[ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡10000100−32310037−3500⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡k1k2k3k4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤
显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关
如果题目只问向量组是否相关，可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k
方程的一般解为
{ x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧x1x2=32x3−37x4=−31x3+35x4
其中一个特解为
k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=−2,k3=1,k4=−1
从而：
3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α1−2α2+α3−α4=0
总结：
- 设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2+⋯+knαn=0
- 把 1. 中的方程写成矩阵的形式，化成阶梯型行列式，即可判断是否存在非零解
- 求出一组非零解
2021年1月4日19:26:01
如有问题请在评论区留言
2021年6月26日 有改动
2021年12月13日23:03:53 排版有改动