图卷积神经网络模型----GCN

一、傅里叶变换与拉普拉斯变换

       傅里叶变换是一种线性的积分变换，这种变换是从时间转换为频率的变换或其相互转换。（原因：我们将信号分解为频域里各种不同频率的信号，又由于频域分析具有很多时域所不具有的特点，故可以比较方便的对原信号进行分析。）

      参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

      时域中的信号，我们可以构造一个三角函数之和：

      

      其中傅里叶级数如下图所示：

      

     其中 = 又称为复幅度（即为：频率谱）。称为其相位谱。

下面我们将详细介绍非周期性连续信号的傅里叶变换（FT）：

         连续信号的傅里叶变换实际上是傅里叶级数的推广。我们首先仔细查看FS，这样更容易理解连续信号的傅里叶变换。因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

                                                             

         则连续傅里叶变换的逆变换为：

                                                            

 

        傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。

        拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

       引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

         傅立叶变换虽然好，但是有一些局限性。我们来看看傅立叶变换的代数式：

                                                              
         那么上面式子要可积，至少得：

                                                             

         其可能遇到不可积的情况，拉普拉斯变换应运而生。

        

         拉普拉斯变换建表如此链接：https://blog.csdn.net/u013528298/article/details/80216892

二、图卷积详解

        首先，我们回想《现代控制理论》中卷积的概念：

                                                              

       下面我们给出傅里叶变换公式：

                                                             

       傅里叶逆变换的公式如下：

                                                             

        

根据Fourier变换及其逆变换的定义，下面我们来证明一下卷积定理,我们定义是和的卷积，那么：

                                               

 

然后参见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/107162772

三、GCN的使用

参见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/107162772

上面链接详细介绍了GCN如何使用。

四、GCN实战

参见：https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-05-22-4