跟着李沐学AI：线性回归

线性回归

​ 线性模型可以看做是单层神经网络。

​ 定义什么是平方损失，1/2存在的原因是求导时可以很好的去除。

​

​ 训练损失是损失函数，，其中的1/n是求取平均。注意y-Xw都是张量相减，y和x都包含n个样本。通过找到这个最小的损失函数的值可以得出最优的w和b。

​ 这是唯一拥有最优解的模型，可以通过X和y得到最优的w*。

​ 超参数就是需要人为来指定的一个值。

. 对所有样本进行梯度下降的成本太大，时间太长，所以需要进行小批量样本的梯度下降。这里的b就是batch_size。这个值不能太小，太小的话不适合并行来最大利用计算资源。也不适合太大，内存消耗增加浪费计算，例如如果所有样本都是相同的。

线性回归从0开始实现

​ 将从0开始实现整个方法，包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器。

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

​ 首先导入random包，作用是随机化权重。

def synthetic_data(w, b, num_examples):  
    """生成 y = Xw + b + 噪声。"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

​ 这是一个数据生成函数，num_examples是n个样本。X是均值为0，方差为1的随机数，大小是n，列数是权重w的列数。同时添加一个噪声，均值为0，方差为1，大小和y一样：y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)。最后return中的reshape中的-1表示自动计算，1表示1列。通过这样的操作就获得了一百个训练样本。其中X是features输入，y是labels标签。

​ 通过print查看feature[0]的值：

print('features:', features[0], '\nlabel:', labels[0])

features: tensor([-0.2699,  1.0983]) 
label: tensor([-0.0847])

​ features中的每一行都包含一个二维数据样本，labels中的每一行都包含一个一位标签值（一个标量）。

​ 接下来定义一个data_iter函数，该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break

​ 通过random.shuffle函数去打乱下标。for循环当中的意思是从0开始，到num_examples结束，步长为batch_size，然后构造batch_indices，每次取出第i个到i+batch_size个下标的内容。最后产生这些随机的特征和随机的标号。yield作用是不断返回数值。

​ 然后初始化模型参数w和b

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

​ 然后定义线性回归模型

def linreg(X, w, b):  
    """线性回归模型。"""
    return torch.matmul(X, w) + b

​ 然后定义损失函数

def squared_loss(y_hat, y):  
    """均方损失。"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2 / 2

​ 然后定义优化算法

def sgd(params, lr, batch_size):  
    """小批量随机梯度下降。"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

​ params是一个list，里面包含了w和b，lr代表学习率。 在for循环中，param -= lr * param.grad / batch_size的含义就是梯度下降的公式表达，其中param可能是w也可能是b，最后手动将梯度设为0。

​ 接下来就到训练过程了

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

​ net参数就是之前定义过的线性回归模型，之后通过l.sum().backward()进行求梯度，再通过sgd函数更新梯度，最后计算出loss。

线性回归的简洁实现

​ 通过使用深度学习框架来简介线性回归模型，生成数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  
    """构造一个PyTorch数据迭代器。"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

next(iter(data_iter))

​ tensordataset的作用是把输入的两类数据进行一一对应，然后通过dataloader随机的挑选出一个样本出来，shuffle的含义是是否需要随机打乱他的顺序。

​ 然后是模型的定义，使用框架的预定义好的层。

from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

​ nn是神经网络的缩写。对于线性回归来说只需要全连接层，只需要指定输入的维度是2，输出的维度是1。

​ 然后是初始化模型参数

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

​ 通过net[0]可以访问到第一层，也就是上述的线性层（因为就一层），然后通过weight可以访问到w，然后通过normal替换掉他的值为正态分布的值，同理以0来填充bias。

​ 然后计算均方误差，使用的是MSELoss类

loss = nn.MSELoss()

​ 然后实例化SGD实例

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

​ 其中包含两个参数，一个是parameters，意思是包含全部的参数，第二个是学习率。

​ 然后可以开始训练

num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X), y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

​ 三部曲： trainer.zero_grad() l.backward() trainer.step()。首先清零梯度，然后通过backward计算梯度，然后通过step更新梯度