【含课程pdf & 测验答案】吴恩达-机器学习公开课 学习笔记 Week1-4 Linear Algebra Review(optional)

1-4 Linear Algebra Review 课程内容

此文为Week1 中Linear Algebra Review的部分。此部分为可选内容。

1-4-1 Matrices and Vectors

矩阵

矩阵是指由数字组成的矩形阵列，并写在方括号中间。实际上，矩阵可以说是二维数组的另一个名字。
矩阵的维度应该写作：矩阵的行数乘以列数

接下来，让我们来谈谈如何表达矩阵的某个特定元素。
标准的表达是：如果A是这个矩阵，那么Aij 表示的是 i j对应的那个数字，意思是矩阵的第i行和第j列对应的那个数。

向量

向量是一种特殊的矩阵，向量是只有一列的矩阵。
将使用符号yi来代表向量y的第i个元素。所以，如果这个向量是y，那么y下标i则表示它的第i个元素。
此外，事实上有两种方法来表达某个向量中某个索引： 1-索引 和 0-索引。

通常在书写矩阵和向量时，大多数人会使用***大写字母来表示矩阵*** ，小写字母来表示数字或是原始的数字或标量或向量

1-4-2 Addition and Scalar Multiplication

矩阵加法

只有相同维度的两个矩阵才能相加，将这两个矩阵的每一个元素都逐个相加。

矩阵和标量的乘法运算

这里所说的标量可能是一个复杂的结构或者只是一个简单的数字，或者说实数。

总结

1-4-3 Matrix Vector Multiplication

假设这是一个矩阵A，将它乘以 一个向量x，结果记为向量y。所以，矩阵A是一个m×n维矩阵，有m行和n列，我们让它与一个 n×1的矩阵相乘，换言之 一个n维向量。
也就是说，这个矩阵的列数有n列，必须要与另一个相乘矩阵的行数相同。即必须匹配这个向量的维数。这样相乘的结果将会是一个n维向量y，m将与 矩阵A的行数相同。
事实上，计算y的过程可以分解为计算 yi 的值：让A的第i行元素分别乘以向量 x 中的元素并且相加。


eg. 假设我有四间房子,这些房子有四种大小。我有一个假设函数h用于预测房子的价格。我需要计算四间房子的大小作为 h(x) 的大小即预测的房价。
首先构建一个矩阵以及一个向量

可以只写一行代码就完成整个过程。

prediction = DataMatrix × Parameters

而且还有一个微妙的好处，我们后面将会了解到。就是基于你所有的房子，这样做计算效率将会更高。比你像右边那样用代码实现公式的方式效率将会高很多。

通过这种方式计算预测值，不仅代码更加简洁，而且效率更高。

1-4-4 Matrix Matrix Multiplication

Matrix Matrix Multiplication

如果A是一个m×n的矩阵，就是说m行n列，我将要用它与 一个n×o的矩阵相乘。所以第一个矩阵的列的数目必须等于第二矩阵中的行的数目，并且相乘得到的结果会是一个m×o的矩阵。

Matrix Multiplication Properties

单位矩阵：

矩阵乘法是不服从交换律的。

矩阵乘法符合结合律。

1-4-5 Inverse and Transpose

逆矩阵

如果一个矩阵的维度是m行m列，那么这个矩阵也可以称之为方阵 。只有方阵才有逆矩阵

如果矩阵A中所有元素都为0，那么这个矩阵A依然没有逆矩阵。
逆矩阵不存在的矩阵叫奇异矩阵或者退化矩阵。因此这个零矩阵就是一个奇异矩阵，或者说退化矩阵的例子。

转置矩阵

1-4-6 测验 Linear Algebra

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