学习笔记-《统计学习方法》-第四章-朴素贝叶斯

4 朴素贝叶斯

4.1.1 朴素贝叶斯的学习与分类

设输入空间$\mathcal{X}\subseteq R^n$为$n$维向量的集合，输出空间为类标记集合$\mathcal{Y}=\{c_1,c_2,...,c_k\}$。输入为特征向量$x\in \mathcal{X}$，输出为类标记（class label）$y\in \mathcal{Y}$。$X$是定义在输入空间$\mathcal{X}$上的随机变量，$Y$是定义在输出空间$\mathcal{Y}$上的随机变量，$P(X,Y)$是$X$和$Y$的联合概率分布，训练数据集
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$$
由$P(X,Y)$独立同分布产生。

朴素贝叶斯法通过训练数据集学习联合概率分布$P(X,Y)$。具体的，是学习先验概率分布及条件概率分布。

先验概率分布
$$P(Y=c_k),k=1,2,...,K$$
条件概率分布
$$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},X^{(2)}=x^{(2)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k),k=1,2,...,K$$
从而获得联合概率分布。

条件概率分布$P(X=x|Y=c_k)$有指数级的参数，其估计实际上是不可能的。假设$x^{(j)}$可取值有$S_j$个，$j=1,2,..,n$，$Y$可取值有$K$个，那么参数个数为$K{\prod }_{j=1}^n{S}_j$

朴素贝叶斯法为了解决该问题，作了条件独立性假设，由于这是一个较强的假设，朴素贝叶斯法因此得名。
$$\begin{gathered} P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},X^{(2)}=x^{(2)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k) \\ =\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k) \end{gathered}$$
基于此，后验概率为
$$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{{\sum }_{k}P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}$$
将上式代入，可得
$$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(Y=c_k){\prod }_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{{\sum }_{k}P(Y=c_k){\prod }_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$$
于是得到
$$y=f(x)=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}\frac{P(Y=c_k){\prod }_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{{\sum }_{k}P(Y=c_k){\prod }_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$$
又因为分母部分对于所有的$c_k$是一致的，所以
$$y=f(x)=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}P(Y=c_k)\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

4.1.2 后验概率最大化的定义

朴素贝叶斯实际是将实例分到后验概率最大化的类中，这等价于期望风险最小化。假设选择0-1损失函数
$$L(Y,f(X))=\{\begin{array}{l}1,Y\ne f(X)\\ 0,Y=f(X)\end{array}$$
期望风险函数为：
$$R_{exp}(f)=E[L(Y,f(X))]=E_X\sum _{k=1}^{K}L(Y,f(X))P(c_k|X)$$
为使期望风险最小化，只需对$X=x$逐个极小化，由此
$$\begin{gathered} f(x)=\underset{y\in \mathcal{Y}}{\mathrm{argmin}}\sum _{k=1}^{K}L(Y,f(X))P(c_k|X=x) \\ =\underset{y\in \mathcal{Y}}{\mathrm{argmin}}\sum _{k=1}^{K}P(y\ne c_k|X=x) \\ =\underset{y\in \mathcal{Y}}{\mathrm{argmin}}\sum _{k=1}^{K}1-P(y=c_k|X=x) \\ =\underset{y\in \mathcal{Y}}{\mathrm{argmax}}\sum _{k=1}^{K}P(y=c_k|X=x) \end{gathered}$$
由此，根据期望风险最小化准则得到了后验概率最大化准则，也就是贝叶斯法所采用的准则。

4.2 朴素贝叶斯法的参数估计

4.2.1 极大似然估计

先验概率的极大似然估计
$$P(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N},k=1,2,...,K$$
证明：

首先明确参数是什么，参数是$p(y=c_k)$以及$p(x^{(j)}=a_{jl}|y=c_k)$，以$\psi$代表这两个参数
$$
L(\psi) = log \prod_{i=1}^N p(x_i, y_i; \psi) \
= log \prod_{i=1}^N p(x_i | y_i; \psi) p(y_i; \psi) \
= log \prod_{i=1}^N (\prod_{j=1}^n p(x_i^{(j)} | y_i ; \psi)) p(y_i; \psi) \
= \sum_{i=1}^N[log p(y_i; \psi) + \sum_{j=1}^n log p(x_i^{(j)}| y_i ; \psi)] \
代入参数 \
= \sum_{i=1}^N[\sum_{k=1}K log p(y = c_k)^{I(y_i=c_k)} + \sum_{k=1}^K \sum_{j=1}^n \sum_{l=1}^{S_j} log p(x_i^{(j)} = a_{jl}| y_i = c_k) ^{I(x_i{(j)}=a_{jl}, y_i=c_k)}] \

= \sum_{i=1}^N [\sum_{k=1}^K {I(y_i=c_k)}log p(y = c_k) + \sum_{k=1}^K \sum_{j=1}^n \sum_{l=1}^{S_j} {I(x_i^{(j)}=a_{jl}, y_i=c_k)} log p(x_i^{(j)} = a_{jl}| y_i = c_k)] \
$$
但实际上，$p(y=c_k)$也存在相应的约束，有约束的求极值，可以考虑使用拉格朗日乘子法。

上式子中只有前半段含有$p(y = c_k)，所以求先验概率估计时只考虑前半部分

先验概率估计

令$F={\sum }_{i=1}^N[{\sum }_{k=1}^{K}I(y_i=c_k)logp(y=c_k)+\lambda (1-{\sum }_{k=1}^{K}p(y=c_k))]$

这里需要注意，并没有直接把$1-{\sum }_{k=1}^{K}p(y=c_k))$代入，而是带入了${\sum }_{i=1}^N(1-{\sum }_{k=1}^{K}p(y=c_k)))$，区别不大，因为都是0，代入一个和多个是一样的，但是代入多个的情况下，下面更容易求解。
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial p(y=c_1)}={\sum }_{i=1}^N\frac{I(y=c_1)}{p(y=c_1)}-\lambda =0\\ \frac{\partial F}{\partial p(y=c_2)}={\sum }_{i=1}^N\frac{I(y=c_2)}{p(y=c_2)}-\lambda =0\\ ...\\ \frac{\partial F}{\partial p(y=c_K)}={\sum }_{i=1}^N\frac{I(y=c_K)}{p(y=c_K)}-\lambda =0\\ \frac{\partial F}{\partial \lambda }={\sum }_{i=1}^N\{1-{\sum }_{k=1}^{K}p(y=c_k)\}=0\end{array}$$
联立前N个式子，可得
$$\{\begin{array}{l}p(y=c_1)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y=c_1)}{N\lambda }\\ p(y=c_2)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y=c_2)}{N\lambda }\\ ...\\ p(y=c_K)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y=c_K)}{N\lambda }\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
因为${\sum }_{k=1}^{K}p(y=c_k)=1$，所以
$$\begin{gathered} 1=\frac{{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{i=1}^{K}I(y=c_k)}{N\lambda } \\ 1=\frac{N}{N\lambda } \\ \lambda =1 \end{gathered}$$
代入(2)式，得到
$$p(y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y=c_k)}{N}k=1,2,3,...,K$$

条件概率的极大似然估计

$$G=\sum _{i=1}^N\{\sum _{k=1}^K\sum _{j=1}^n((\sum _{l=1}^{S_j}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)logp(x_i^{(j)}=a_{jl}|y_i=c_k))+{\lambda }_{kj}(1-\sum _{l=1}^{S_j}p(x^j=a_{jl}|y=c_k))\}$$

与上面类似，由于对于每个$k,j$都会存在一个${\sum }_{l=1}^{S_j}p(x^j=a_{jl}|y=c_k)=1$，所以实际上存在$k\ast l$个约束，求导可得
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial G}{\partial p(x_i^{(j)}=a_{jl}|y_i=c_k))}={\sum }_{i=1}^N\{\frac{I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{p(x_i^{(j)}=a_{jl}|y_i=c_k)}-{\lambda }_{kj}\}=0\\ \frac{\partial G}{\partial {\lambda }_{kj}}={\sum }_{i=1}^N(1-{\sum }_{l=1}^{S_j}p(x^j=a_{jl}|y=c_k))=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
由第一个式子可得
$$p(x_i^{(j)}=a_{jl}|y_i=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{N{\lambda }_{kj}}\text{\hspace{1em}(4)}$$
由第二个式子可得
$$\sum _{l=1}^{S_j}p(x^j=a_{jl}|y=c_k))=1\text{\hspace{1em}(5)}$$
联立两个式子可得
$$\begin{gathered} 1=\sum _{l=1}^{S_j}\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{N{\lambda }_{kj}} \\ 1=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N{\lambda }_{kj}} \\ N{\lambda }_{kj}=\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k) \end{gathered}$$
代入上式(4)，得到
$$p(x_i^{(j)}=a_{jl}|y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}$$

证明完毕。

4.2.2 学习与分类算法

输入：训练数据$T=\{(x_1,y_2),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$，其中$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(j)}{)}^T$， 其中$x_i^{(j)}$是第$i$个样本的第$j$个特征，$x_i^{(j)}\in \{a_{j1},a_{j2},...a_{j{S}_j}\}$，$a_{jl}$是第$j$个特征可能的第$l$个取值，$j=1,2,...,n,l=1,2,...,S_j,y_i\in \{c_1,c_2,...,c_K\}$；

输出：输出实例$x$的分类。

（1）计算先验概率及条件概率
$$
p(y = c_k) = \frac{\sum_{i=1}^N I(y = c_k)}{N},\ \ \ \ k = 1,2,3,…,K \

p(x_i^{(j)} = a_{jl}| y = c_k) =
\frac{\sum_{i=1}^N I(x_i^{(j)}=a_{jl}, y_i=c_k)}
{\sum_{i = 1}^N I(y_i = c_k)} \
j = 1,2, …, n; \ \ l = 1,2,…, S_j; \ \ k = 1, 2, …, K
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 12: （2）对于给定的实例$̲x = (x^{(1)}, x…
P(Y = c_k) \prod_{j = 1}^n P(X ^{(j)} = x^{(j)} | Y = c_k), \ \ \ k=1,2,…,K
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 9: （3）确定实例$̲x$的类
y = \underset {c_k} {argmax} P(Y = c_k) \prod_{j = 1}^n P(X ^{(j)} = x^{(j)} | Y = c_k)
$$

4.2.3 贝叶斯估计

使用极大似然估计可能会出现所要估计的概率值为0的情况，这时会影响到后验概率的计算结果，使分类产生偏差。解决这一问题的方法是采用贝叶斯估计
$$P_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+S_j\lambda }$$
式中$\lambda >=0$，等价于在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数$\lambda >0$，当$\lambda =0$的时候，就是极大似然估计。常取$\lambda =1$，这时称为拉普拉斯平滑（Laplacian smoothing）。由于对于任意的$l=1,2,...,S_j;k=1,2,...,K$，都有
$$\begin{gathered} P_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)>0 \\ \sum _{l=1}^{S_j}{P}_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=0 \end{gathered}$$
所以贝叶斯估计也是一种概率分布，同样的，先验概率的贝叶斯估计是
$$P_{\lambda }(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y=c_k)+\lambda }{N+K\lambda },k=1,2,3,...,K$$
总结

1. 朴素贝叶斯法是典型的生成学习方法。生成学习方法由训练数据学习联合概率分布$P(X,Y)$，然后求得后验概率分布$P(X|Y)$。

2. 朴素贝叶斯的基本假设是条件独立性，基于此，省略率大量的参数，学习与预测大为简化，因而优点是高效，且易于实现。缺点就是分类性能不一定很高。

习题

回顾下贝叶斯估计

思路：假设概率$P_{\lambda }(Y=c_i)$服从狄利克雷（Dirichlet）分布，根据贝叶斯公式，推导后验概率也服从Dirichlet分布，求参数期望；

证明步骤：

1. 条件假设

根据朴素贝叶斯法的基本方法，训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)\}$，假设：
（1）随机变量$Y$出现$y=c_k$的次数为$m_k$​，即$m_k=\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)$，可知$\sum _{k=1}^K{m}_k=N$（y总共有N个）;
（2）$P_{\lambda }(Y=c_k)=u_k$，随机变量$u_k$服从参数为$\lambda$的Dirichlet分布。

补充说明：

1. 狄利克雷(Dirichlet)分布
     参考PRML（Pattern Recognition and Machine Learning）一书的第2.2.1章节：⽤似然函数(2.34)乘以先验(2.38)，我们得到了参数$u_k$的后验分布，形式为
   $$p(u|D,\alpha )\propto p(D|u)p(u|\alpha )\propto \prod _{k=1}^K{u}_k^{{\alpha }_k+m_k-1}$$

   该书中第B.4章节： 狄利克雷分布是K个随机变量$0⩽u_k⩽1$的多变量分布，其中$k=1,2,\dots ,K$，并满足以下约束
   $$0⩽u_k⩽1,\sum _{k=1}^K{u}_k=1$$
   记$u=(u_1,\dots ,u_K{)}^T,\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K{)}^T$，有
   $$\begin{gathered} Dir(u|\alpha )=C(\alpha )\prod _{k-1}^K{u}_k^{{\alpha }_k-1} \\ E(u_k)=\frac{{\alpha }_k}{\sum _{k=1}^K{\alpha }_k} \end{gathered}$$

2. 为什么假设$Y=c_k$的概率服从Dirichlet分布？
   答：原因如下：
   （1）首先，根据PRML第B.4章节，Dirichlet分布是Beta分布的推广。
   （2）由于，Beta分布是二项式分布的共轭分布，Dirichlet分布是多项式分布的共轭分布。Dirichlet分布可以看作是“分布的分布”；
   （3）又因为，Beta分布与Dirichlet分布都是先验共轭的，意味着先验概率和后验概率属于同一个分布。当假设为Beta分布或者Dirichlet分布时，通过获得大量的观测数据，进行数据分布的调整，使得计算出来的概率越来越接近真实值。
   （4）因此，对于一个概率未知的事件，Beta分布或Dirichlet分布能作为表示该事件发生的概率的概率分布。

大佬牛逼…感谢网上的解答

2. 得到先验概率：
   $$P(u)=P(u_1,u_2,\dots ,u_K)=C(\lambda )\prod _{k=1}^K{u}_k^{\lambda -1}$$

3. 得到似然函数
     记$m=(m_1,m_2,\dots ,m_K{)}^T$，可得似然函数为
   $$P(m|u)=u_1^{m_1}\cdot u_2^{m_2}\cdots u_K^{m_K}=\prod _{k=1}^K{u}_k^{m_k}$$

4. 得到后验概率分布
     结合贝叶斯公式，求$u$的后验概率分布，可得
   $$P(u|m)=\frac{P(m|u)P(u)}{P(m)}$$

5. 根据假设(1)，可得
   $$P(u|m,\lambda )\propto P(m|u)P(u|\lambda )\propto \prod _{k=1}^K{u}_k^{\lambda +m_k-1}$$
   上式表明，后验概率分布P(u|m,\lambda)P(u∣m,λ)也服从Dirichlet分布

6. 得到随机变量uu的期望
     根据后验概率分布$P(u|m,\lambda )$和假设(1)，求随机变量$u$的期望，可得
   $$E(u_k)=\frac{{\alpha }_k}{\sum _{k=1}^K{\alpha }_k}$$
   其中${\alpha }_k=\lambda +m_k$，则
   $$\begin{array}{rl}E(u_k)& =\frac{{\alpha }_k}{\sum _{k=1}^K{\alpha }_k}\\ & =\frac{\lambda +m_k}{\sum _{k=1}^K(\lambda +m_k)}\\ & =\frac{\lambda +m_k}{\sum _{k=1}^K\lambda +\sum _{k=1}^K{m}_k}\\ & =\frac{\lambda +m_k}{K\lambda +N}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+\lambda }{N+K\lambda }\end{array}$$

公式(4.11)得证

公式(4.10)的证明类似