GAN网络

GAN

生成式对抗网络（GAN, Generative Adversarial Networks）是一种深度学习模型。主要包括两部分：生成模型和判别模型。也就是对应神经网络的生成器与判别器：

1. 生成器G(Generator)：通过生成器G生成数据。
2. 判别器D(Discriminator)：判断这张图像是真实的还是机器生成的，目的是判别数据是否是生成器做的“假数据”

生成器与判别器互相对抗，不断调整参数。最终的目的是使判别网络无法判断生成网络的输出结果是否真实。

生成器G是一个生成图片的网络，它接收一个随机的噪声$z$，通过这个噪声生成图片，生成的图片记做$G(z)$。

判别器D判别一张图片是不是“真实的”。它的输入是 $x$ ，$x$代表一张图片（其中，$x$包含生成图片和真实图片，对于生成图片有 $x=G(z)$），输出$D(x)$代表$x$为真实图片的概率，如果为1，就代表100%是真实的图片，而输出为0，就代表图片0%是真的（或者说100%是假的）

其中网络结构如下所示：

其中，真实数据分布中的数据与生成数据是相同形状的。

生成网络G（Generative）

生成网络从隐空间（latent space）中随机采样作为输入，其输出结果需要尽量模仿训练集中的真实样本。

对抗网络D（Discriminative）

对抗网络也可称判别网络，判别网络的输入则为真实样本或生成网络的输出，其目的是将生成网络的输出从真实样本中尽可能分辨出来。

两分布之间差异性评价

真实数据分布中的数据 $x$ 服从分布 $x\sim P_{data}(x)$，生成数据分布中的数据 $x$ 服从分布 $x\sim P_G(x;\theta )$

那么衡量两个分布之间的差异性指标有：KL散度，JS散度，交叉熵和Wasserstein距离。

KL散度

离散概率分布的KL散度计算公式:
$$KL(p\Vert q)=\sum p(x)\log \frac{p(x)}{q(x)}$$
连续概率分布的KL散度计算公式:
$$KL(p\Vert q)=\int p(x)\log \frac{p(x)}{q(x)}dx$$

JS散度

$$JS(p\Vert q)=\frac{1}{2}KL\left(p\Vert \frac{p+q}{2}\right)+\frac{1}{2}KL\left(q\Vert \frac{p+q}{2}\right)$$

损失函数

以分布的角度来看GAN网络结构，然后考虑其损失函数。

对于生成网络G，其输入的$z$ （$\mathbf{z}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$，表示 $z$ 服从正态分布的数据），通过训练出来的参数 $\theta$ 的生成网络生成的图片为 $G(\mathbf{z},\theta )$ 。

对于判别网络，可以认为是二分类问题，一类是生成网络的输出，即 $x_{generative}=G(\mathbf{z},\theta )$；另一类是真实数据$x_{real}$，（其中，$x_{real}\sim D_{real}$ ，表示 $x_{real}$ 服从一种真实的分布distribution）。将 $x$ （其中，$x=x_{generative}\cup x_{real}$） 数据输入到判别网络中，输出结果分别为：

1. $D({\mathbf{x}}_{\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{a}\mathbf{l}},\varphi )$
2. $D({\mathbf{x}}_{\mathbf{g}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{v}\mathbf{e}},\varphi )=D(G(\mathbf{z},\theta ),\varphi )$

分别从生成网络和判别网络的角度来看：

1. 对于生成网络的标准就是：我希望我生成的图片越接近真实越好，那么也就是使$D({\mathbf{x}}_{\mathbf{g}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{v}\mathbf{e}},\varphi )=D(G(\mathbf{z},\theta ),\varphi )$ 越接近1越好。也就是训练生成网络中的参数 $\theta$ 满足：
   $$\underset{\theta }{\max }\left({\mathbb{E}}_{z\sim p(z)}[\log D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi )]\right)$$

2. 对于判别网络的标准就是：我能够很好的区分哪些是真的，哪些是假的。也就是说能够很好的将真的和假的区分开来。也就是希望真实数据的输出$D({\mathbf{x}}_{\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{a}\mathbf{l}},\varphi )$ 越趋近于1，而生成数据的输出$D({\mathbf{x}}_{\mathbf{g}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{v}\mathbf{e}},\varphi )=D(G(\mathbf{z},\theta ),\varphi )$ 越趋近于0。

   将其看成二分类问题，二分类问题的损失函数可以使用交叉熵损失函数来表示，对于二分类，只有正样本（label=1）与负样本（label=0）。并且两者概率之和为1。对于一个输入$x$，经过模型输出为$p(x)$。y是真实的标签。于是单个样本的损失函数就是：
   $$LOSS=-y\ast log(p(x))+(1-y)log(1-p(x))$$
   如果是计算 N 个样本的平均损失函数，只要将 N 个 Loss 叠加起来再除以N就行：
   $$LOSS=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{y}^{(i)}\log ({p(x)}^{(i)})+\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-{p(x)}^{(i)}\right)$$

   对于$x\sim p_{data}(x)$ 的输出$D(x;\varphi )$是真实的，也就是标签为1，那么其单个样本损失函数就是：
   $$LOSS=-1\ast \log D(\mathbf{x};\varphi )+(1-1)(1-\log D(\mathbf{x};\varphi ))=-\log D(\mathbf{x};\varphi )$$
   平均损失函数就是（其实就是求平均）：
   $$LOSS=-{\mathbb{E}}_{\mathbf{x}\sim p_{data}(\mathbf{x})}[\log D(\mathbf{x};\varphi )]$$
   那么对于 $z\sim p(z)$ 的输出$D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi ))$是假的，也就是标签为0，那么其单个样本损失函数就是:
   $$LOSS=0\ast D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi ))+(1-0)(1-D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi )))=1-D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi ))$$
   平均损失函数就是：
   $$LOSS=-{\mathbb{E}}_{\mathbf{z}\sim p(\mathbf{z})}[\log (1-D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi ))]$$
   由于上面损失函数是负数，并且需要最小化损失函数，那么反过来的最大化损失函数就是：
   $$\underset{\varphi }{\max }{\mathbb{E}}_{\mathbf{x}\sim p_{data}(\mathbf{x})}[\log D(\mathbf{x};\varphi )]+{\mathbb{E}}_{\mathbf{z}\sim p(\mathbf{z})}[\log (1-D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi ))]$$

在训练过程中，当G固定的时候，有：
$${\mathbb{E}}_{\mathbf{z}\sim p(\mathbf{z})}[\log (1-D(G(\mathbf{z};\theta );\varphi ))]={\mathbb{E}}_{\mathbf{x}\sim p_g(\mathbf{x})}[\log (1-D(x;\varphi ))]$$
全局优化首先固定G，然后优化D（这种情况也就是生成数据的分布$\mathbf{x}\sim p_g(\mathbf{x})$ 与真实分布$\mathbf{x}\sim p_{data}(\mathbf{x})$已知），D的最佳情况为：（推导可以看GAN入门理解及公式推导 - 知乎 (zhihu.com)）
$$D_G^{\ast }(\mathbf{x})=\frac{p_{\text{data }}(\mathbf{x})}{p_{\text{data }}(\mathbf{x})+p_g(\mathbf{x})}$$
将最佳的D代入目标loss函数，有：
$$=-2\log 2+2D_{JS}\left(P_{\text{data }}\Vert P_g\right)$$
也就是说，原始GAN的loss实际上等价于JS散度。

一次代码实验

很多的GAN网络结构代码可以参考：PyTorch-GAN

其中一个网络结构如下：

在实验中，对应的形状如下所示：

1. 高斯随机变量：torch.Size([batch_size, 100])
2. 生成的fake_image, 真实image：torch.Size([batch_size, 3,64,64])
3. 判别真假：torch.Size([batch_size, 1])

代码如下：

生成网络代码

class Generator(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Generator, self).__init__()

        def block(in_feat, out_feat, normalize=True):
            layers = [nn.Linear(in_feat, out_feat)]
            if normalize:
                layers.append(nn.BatchNorm1d(out_feat, 0.8))
            layers.append(nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True))
            return layers

        self.model = nn.Sequential(
            *block(opt.latent_dim, 128, normalize=False),
            *block(128, 256),
            *block(256, 512),
            *block(512, 1024),
            nn.Linear(1024, int(np.prod(img_shape))),
            nn.Tanh()
        )

    def forward(self, z):
        img = self.model(z)
        img = img.view(img.shape[0], *img_shape)
        return img

对抗网络代码

class Discriminator(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Discriminator, self).__init__()

        self.model = nn.Sequential(
            nn.Linear(int(np.prod(img_shape)), 512),
            nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True),
            nn.Linear(512, 256),
            nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True),
            nn.Linear(256, 1),
        )

然后在Anime_Faces数据集中训练，获得的1000个epochs后生成的数据有：

感觉效果不太行，估计是网络结构的局限性。

WGAN

参考论文：[1701.07875] Wasserstein GAN (arxiv.org)

在生成对抗网络中，当判断网络为最优时，生成网络的优化目标是最小化真实分布 $p_r(x)$ 和模型分布 $p_{\theta }(x)$ 之间的JS散度。当两个分布相同时，JS散度为0，最优生成网络对应的损失为−2log2。但是使用JS散度来训练生成对抗网络的一个问题是当两个分布没有重叠时，它们之间的JS散度恒等于常数log2。对生成网络来说，目标函数关于参数的梯度为0。

在GAN的基础上加入了Wasserstein距离，Wasserstein距离用于衡量两个分布之间的距离。相比KL散度和JS散度的优势在于即使两个分布没有重叠或者重叠非常少，Wasserstein距离仍然能反映两个分布的远近。其数学公式如下：
$$W_p\left(q_1,q_2\right)={\left(\underset{\gamma (x,y)\in \Gamma \left(q_1,q_2\right)}{\inf }{\mathbb{E}}_{(x,y)\sim \gamma (x,y)}\left[d(x,y{)}^p\right]\right)}^{\frac{1}{p}}$$
其中 ，$\Gamma \left(q_1,q_2\right)$ 是边际分布为 $q_1,q_2$ 的所有可能的联合分布集合, $\mathrm{d}(\mathrm{x},\mathrm{y})$ 为 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$ 的 距离, 比如 ${\ell }_p$ 距离等，$\mathbb{E}$ 表示期望，$\inf$表示下确界。

下确界，如果是一个集合的下确界， 即表示小于或等于集合E的所有其他元素的最大元素， 这个数不一定在集合E中。举例来说：

1. $inf\{1,2,3\}=1$; 也就是说集合$\{1,2,3\}$的下确界为1
2. $inf\{x\in \mathbb{R},0<x<1\}=0$ ;
3. $inf\{(-1{)}^n+1/n:n=1,2,3,...\}=-1$;

当然，换一种角度解读：将两个分布看作是两个土堆，联合分布 $\gamma (x,y)$ 看作是从土堆 $q_1$ 的位置 $x$ 到土堆 $q_2$ 的位置 $y$ 的搬运土的数量。Wasserstein距离可以理解为搬运土堆的最小工作量，也称为推土机距离（Earth-Mover’s Distance，EMD）

WGAN-GP

参考论文：[1704.00028] Improved Training of Wasserstein GANs (arxiv.org)

WGAN还是有问题：

• 权重裁剪会导致参数基本都在限制的边界值，极大浪费了模型的参数。
• 还是很容易梯度消失或者梯度爆炸，需要仔细的调参

WGAN-GP，核心只有一个：Gradient Penalty

Gradient Penalty：判别器相对于输入的梯度的二范数要约束在1附近，这样就能够保证Lipschitz连续。

# 计算Gradient Penalty
def compute_gradient_penalty(D, real_samples, fake_samples):
    """Calculates the gradient penalty loss for WGAN GP"""
    # Random weight term for interpolation between real and fake samples
    alpha = Tensor(np.random.random((real_samples.size(0), 1, 1, 1)))
    # Get random interpolation between real and fake samples
    interpolates = (alpha * real_samples + ((1 - alpha) * fake_samples)).requires_grad_(True)
    d_interpolates = D(interpolates)
    fake = Variable(Tensor(real_samples.shape[0], 1).fill_(1.0), requires_grad=False)
    # Get gradient w.r.t. interpolates
    gradients = autograd.grad(
        outputs=d_interpolates,
        inputs=interpolates,
        grad_outputs=fake,
        create_graph=True,
        retain_graph=True,
        only_inputs=True,
    )[0]
    gradients = gradients.view(gradients.size(0), -1)
    gradient_penalty = ((gradients.norm(2, dim=1) - 1) ** 2).mean()
    return gradient_penalty

Conditional GAN

条件GAN，顾名思义就是根据条件针对性的生成数据。具体有AC-GAN。