数值分析第四章知识点总结——非线性方程求根

非线性方程求根

一、二分法

1. 有根区间为[a,b]，注意a0，b0的选取。
2. 误差估计及求需要迭代的次数。
   
3. 常考解题思路：已知误差，求迭代次数；已知迭代次数，求绝对误差限及最终的根的值

二、简单迭代法（逐次逼近法）

1. 一般格式：迭代函数，迭代格式
   
2. 收敛条件：φ(x)在区间[a,b]上可导，且满足下列两个条件。（经常用于证明迭代格式收敛）
   
3. 误差估计
   
4. 收敛阶：p阶收敛证明方法一般为以下两种：
   
5. Aitken加速法
   Nw
6. 常考解题思路：构建迭代方程、写成迭代格式、证明迭代格式收敛、求收敛阶

三、Newton 迭代法

1. 迭代格式：根据f(x)在x0处的一阶Taylor展开得到
   
2. 平方收敛（会证明）
   
3. 收敛的注意事项
   （1）局部收敛
   
   （2）对初值选取比较严格
   

四、Newton 迭代法的变形

1. 简化Newton迭代法
   
2. 割线法：1.618阶收敛
   
3. 带参数的Newton迭代法
   
4. 直接求方程重根的Newton迭代法
   

五、常考题型及解题思路总结

1. 说明方程在某区间上有唯一根。

• 求方程导数，证明单调性，根据零点定理，一定存在唯一根

2. 证明迭代格式收敛

• 根据函数收敛的两条性质，即函数值域、导数范围证明迭代格式收敛

3. 求收敛的迭代格式的收敛阶

• 根据判断收敛阶的两个方法：p阶导数不为零、构建p阶无穷小等式

4. 限制绝对误差限，求迭代次数

• 根据每种方法的误差估计式进行求解

5. 求解重根方程的根

• 根据两种求根方法进行求解。一种是给定重根数、一种是求二阶导，不受重根数的影响

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