TOPSIS法数学建模

TOPSIS法

概述

​ C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to an ideal Solution），可翻译为逼近理想排序法，国内常简称为优劣解距离法。

​ TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

​ 基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

引例

问题描述

​ 小明同学宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：

姓名	成绩
小明	89
小王	60
小张	74
清风	99

​ 请为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

评分方式

用排名计算得分

姓名	成绩	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	3/10=0.3
小王	60	4	1	1/10=0.1
小张	74	3	2	2/10=0.2
清风	99	1	4	4/10=0.4

​ 因为排名是越小越好，而评分是越大越好，所以对排名进行了修改，把排名也变成越大越好。

问题：排名无法反映各位同学成绩的相对大小，只要排名不变（得分可以变化），他们的得分就没有变化。

姓名	成绩	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	3/10=0.3
小王	60 10	4	1	1/10=0.1
小张	74	3	2	2/10=0.2
清风	99 90	1	4	4/10=0.4

用距离计算得分

​ 最高成绩max：99，最低成绩min：60，构造评分公式：$\frac{x-\min }{\max -\min }$。

姓名	成绩	未归一化成绩	归一化成绩
小明	89	(89-60)/(99-60)=0.74	0.74/2.1=0.35
小王	60	(60-60)/(99-60)=0	0/2.1=0
小张	74	(74-60)/(99-60)=0.36	0.36/2.1=0.17
清风	99	(99-60)/(99-60)=1	1/2.1=0.48

​ 使用这种评分方式有个特点，就是最高分永远都是1，最低分永远都是0，而其他得分则介于0-1之间。

​ 由于考试成绩是有下限0和上限100，我们也可以用卷面的最低分和最高分计算评分，但是并不推荐。

三点解释：

• 比较的对象一般要远大于两个（例如比较一个班级的成绩），所以除了最高分和低分比较特殊是1和0，其他大多数对象的得分都是介于0-1之间。减小了0和1的特殊性。
• 比较的指标也往往不只是一个方面，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。这样就进一步减少了0和1的特殊性，因为这些“1”和“0”不会集中出现在一个衡量对象身上，而是分散分布的。
• 有很多指标不存在理论的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。（所以之前的例子不建议用卷面的最高分和最低分来评分，不具有通用性）

拓展问题

问题描述

​ 新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。

姓名	成绩	与他人争吵的次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
清风	99	3

统一指标类型

​ 成绩越大越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标），与他人争吵次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

​ 极小型指标转换为极大型指标的公式：$\max -x$。

姓名	成绩	与他人争吵的次数	正向化的争吵次数
小明	89	2	1
小王	60	0	3
小张	74	1	2
清风	99	3	0
指标类型	极大型	极小型	极大型

标准化处理

​ 指标的量纲会对评分产生较大的影响，比如1km，如果用“m”这个单位来表示，就是1000米，这样数值就扩大了1000倍，就会影响评分结果，不同的量纲则对应不同的结果、不同的评分。

​ 为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

​ 假设有n个要评价的对象，m个指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1\mathrm{m}}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2\mathrm{m}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{\mathrm{n}1}& x_{\mathrm{n}2}& \cdots & x_{\mathrm{n}\mathrm{m}}\end{array}\right]$$
​ 那么，对其标准化的矩阵记为$\mathbf{Z}$，$\mathbf{Z}$中的每一个元素：${\mathrm{z}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}={\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}/\sqrt{\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^2}$。
$$\left[\begin{array}{cc}89& 1\\ 60& 3\\ 74& 2\\ 99& 0\end{array}\right]\begin{array}{r}标准化\\ ⟹\end{array}\left[\begin{array}{cc}0.5437& 0.2673\\ 0.3665& 0.8018\\ 0.4520& 0.5345\\ 0.6048& 0\end{array}\right]$$

计算得分并排序

​ 我们从一维（一个指标）的评分公式推广到多维（多个指标）：
$$\frac{x-\min }{\max -\min }=\frac{x-\min }{(\max -x)+(x-\min )}=\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离}$$
​ 在多个指标的情况下，最大值与最小值的距离通常和$x$与最大值的距离加$x$与最小值的距离是不相等的，只有在一个指标的情况才是恒相等的。

​ 假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵：
$$\mathbf{Z}=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1\mathrm{m}}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2\mathrm{m}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{\mathrm{n}1}& x_{\mathrm{n}2}& \cdots & z_{\mathrm{n}\mathrm{m}}\end{array}\right]$$
​ 定义最大值:
$$\begin{array}{rl}{Z}^{+}& =(Z_1^{+},Z_2^{+},\cdots ,Z_{\mathrm{m}}^{+})\\ & =(\max \{z_{11},z_{21},\cdots ,z_{\mathrm{m}1}\},\max \{z_{12},z_{22},\cdots ,z_{\mathrm{m}2}\},\cdots ,\max \{z_{1\mathrm{n}},z_{2\mathrm{n}},\cdots ,z_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\})\end{array}$$
​ 定义最小值：
$$\begin{array}{rl}{Z}^{-}& =(Z_1^{-},Z_2^{-},\cdots ,Z_{\mathrm{m}}^{-})\\ & =(\min \{z_{11},z_{21},\cdots ,z_{\mathrm{m}1}\},\min \{z_{12},z_{22},\cdots ,z_{\mathrm{m}2}\},\cdots ,\min \{z_{1\mathrm{n}},z_{2\mathrm{n}},\cdots ,z_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\})\end{array}$$
​ 定义第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象与最大值的距离：
$$D_{\mathrm{i}}^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$$
​ 定义第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象与最小值的距离：
$$D_{\mathrm{i}}^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$
​ 那么，我们可以计算第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象未归一化的得分：
$${\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}=\frac{{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{+}+{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}}$$
​ 显然$0\le {\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}\le 1$，且S_i越大D⁺_i越小，即越接近最大值。

​ 回到引例中，最大值：[0.6048,0.8018]，最小值：[0.3665,0]。

姓名	D+	D-	未归一化的得分	归一化后的得分	排名
小明	0.5380	0.3206	0.3734	0.1857	3
小王	0.2382	0.8018	0.7709	0.3834	1
小张	0.3087	0.5413	0.6375	0.3170	2
清风	0.8018	0.2382	0.2291	0.1139	4

建模步骤

将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（越好）	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估是的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

​ 所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转化的函数形式可以不唯一）

极小型指标转化为极大型指标

​ 公式为max-x，如果所有的元素均为正数，那么也可以使用$\frac{1}{x}$。

中间型指标转化为极大型指标

​ 中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估PH值）。

​ {x_i}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为x_best，那么正向化的公式如下：
$$M=\max \{|x_i-x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}|\},x_{\mathrm{i}}=1-\frac{|x_{\text{i}}-x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}|}{M}$$
​ 例如PH值的正向化（x_best=7）：

PH值（转化前)	PH值（转化后）
6	$1-\frac{6-7}{2}=\frac{1}{2}$
7	$1-\frac{7-7}{2}=1$
8	$1-\frac{8-7}{2}=\frac{1}{2}$
9	$1-\frac{9-7}{2}=0$

对于正向化公式的理解：

​ $x_i-x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}$是表示与最优值的距离，这个距离越小越好，是极小型指标，然后在将其转化为极大型指标，我们先除以最大值M将其变换到0到1之间，然后再用此时的最大值1减去变换后的值，将其转化为极大型指标。

区间型指标转化为极大型指标

​ 区间型指标：指标落在某个区间内最好，例如人的体温在36°~37°这个区间比较好。

​ {x_i}是一组区间型指标序列，且最佳的区间为$[a,b]$，那么正向化的公式如下：
$$\begin{gathered} \text{M}=\max \{a-\min \{x_{\text{i}}\},\max \{x_{\text{i}}\}-b\} \\ {x}_{\text{i}}=\{\begin{array}{ll}1-\frac{a-x_i}{\text{M}}& x<a\\ 1& a\le x_{\text{i}}\le b\\ 1-\frac{x_i-b}{\text{M}}& x>b\end{array} \end{gathered}$$
​ 例如体温的正向化（$a=36,b=37$，M=1.4）：

体温（转换前）	体温（转化后）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

将正向化矩阵标准化

​ 假设有n个要评价的对象，m个指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1\mathrm{m}}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2\mathrm{m}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{\mathrm{n}1}& x_{\mathrm{n}2}& \cdots & x_{\mathrm{n}\mathrm{m}}\end{array}\right]$$
​ 那么，对其标准化的矩阵记为$\mathbf{Z}$，$\mathbf{Z}$中的每一个元素：${\mathrm{z}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}={\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}/\sqrt{\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^2}$。

计算得分并归一化

假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵：
$$\mathbf{Z}=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1\mathrm{m}}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2\mathrm{m}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{\mathrm{n}1}& x_{\mathrm{n}2}& \cdots & z_{\mathrm{n}\mathrm{m}}\end{array}\right]$$
​ 定义最大值:
$$\begin{array}{rl}{Z}^{+}& =(Z_1^{+},Z_2^{+},\cdots ,Z_{\mathrm{m}}^{+})\\ & =(\max \{z_{11},z_{21},\cdots ,z_{\mathrm{m}1}\},\max \{z_{12},z_{22},\cdots ,z_{\mathrm{m}2}\},\cdots ,\max \{z_{1\mathrm{n}},z_{2\mathrm{n}},\cdots ,z_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\})\end{array}$$
​ 定义最小值：
$$\begin{array}{rl}{Z}^{-}& =(Z_1^{-},Z_2^{-},\cdots ,Z_{\mathrm{m}}^{-})\\ & =(\min \{z_{11},z_{21},\cdots ,z_{\mathrm{m}1}\},\min \{z_{12},z_{22},\cdots ,z_{\mathrm{m}2}\},\cdots ,\min \{z_{1\mathrm{n}},z_{2\mathrm{n}},\cdots ,z_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\})\end{array}$$
​ 定义第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象与最大值的距离：
$$D_{\mathrm{i}}^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$$
​ 定义第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象与最小值的距离：
$$D_{\mathrm{i}}^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$
​ 那么，我们可以计算第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象为归一化的得分：
$${\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}=\frac{{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{+}+{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}}$$
​ 显然$0\le {\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}\le 1$，且S_i越大D⁺_i越小，即越接近最大值。

​ 我们可以将得分归一化：${\mathrm{S}}_{\text{i}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}/\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}$，这样的话$\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{i}}=1$。（得分归一化不影响排序）

归一化和标准化的区别：

​ 归一化的计算步骤也可以消去量纲的影响，但更多的时候，我们进行归一化的目的是为了让我们的结果更容易解释，或者说让我们对结果有一个更加清晰直观的印象。例如将得分归一化后可限制在0-1这个区间，对于区间的每一个得分我们很容易得到其所处的比例位置。

模型拓展

​ 我们以上构造的模型中各个指标的权重都是相同的，但是在实际生活中各个指标的重要性一般都是不同的，所以我们在计算得分的时候可以带入权重。假设m个指标的权重向量如下：
$$\omega =[{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_{\text{n}}]$$
​ 定义第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象与最大值的距离：
$$D_{\mathrm{i}}^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$$
​ 定义第$\mathrm{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots ,\mathrm{n})$个评价对象与最小值的距离：
$$D_{\mathrm{i}}^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$
​ 计算得分和之前相同，就不在赘述了。

学习视频：[清风数学建模](【【强烈推荐】清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教学】 https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi/?p=3&share_source=copy_web&vd_source=7753752d7ab4aeaebba50d60304b652a)，清风的视频讲解的比较细致，建模的步骤和思路也很清晰，而且还分享很多建模资料，还有对作业批改的视频，感觉做得很用心，看清风的视频学习建模也是一个不错的选择。