Codeforces Round #825 (Div. 2) C. Good Subarrays

前言

简单记录一下div2 825的一个好题 ~ ~。

题意1

一个长度为 $m$ 的序列 $b$是好序列，当且仅当对于所有的 $i,(1\le i\le m)$,$b_i\le i$。
现在求序列$a$ 的所有连续子序列中，好序列有多少个。

思路

记 $f_i$为：以$a_i$ 为结尾的好序列 $[a_j..a_{i-1}{a}_i]$的个数。
根据定义$f_i=j的取值方案数=len([a_j..a_{i-1}{a}_i])\le a_i$
再根据转移递推关系，$f_i$的所有合法方案可以从$f_{i-1}$ 的合法方案后面接一个$a_i$ 以及序列 [$a_i$] 得来，所以 $f_i\le f_{i-1}+1$。
$f_i=min(f_{i-1}+1,a_i)。$
答案为 ${\sum }_{i=1}^n{f}_i$

题意2

接 题意1，给定 $q$ 个 独立的 询问：p x。
令$a_p:=x$。
求序列 $a$ 的连续子序列中好序列的个数。

思路

仔细观察，可以发现，对于 $a_p$ 改变之后，$f_{\mathrm{1..}(p-1)}$ 的值并不会改变。
所以，我们只要关注 $f_{p..n}$ 如何改变。
根据 $f$ 序列的计算方法，我们可以得出修改后的$f_p=min(f_{p-1}+1,x)$
此时 $f$中，$f_p$之后的一段序列 会变成形如 $[f_p,f_{p+1}+1,f_{p+2}+2,...,f_{p+k}+k]$。
我们需要知道 $k$ 是多少。
由 $f_i$ 的计算公式，可以推测出：
$k$ 就是满足条件 $a_{p+d}\le f_p+d$ 中 $d$ 的最小值减1 (二分可得)。
形式上可以这样理解：在 $f_{d+p}$ 之前，所有 $f_j(p\le j\le p+d)$ 的最大值约束都来自 $f_p$。
从 $f_{d+p}$ 开始， $f_j(d+p\le j\le n)$ 的最大值约束一开始来自 $a_{d+p}$。
故，令$f_{d+p}=a_{d+p}$, 然后重新按照转移方程计算所有的 $f_j(j\ge p+d)$。

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我们可以先预处理所有的，令 $f_i=a_i$， $su{m}_i={\sum }_{j=i}^n{f}_j$。
可以倒着预处理，当我们令 $f_i=a_i$时，$f_i$ 之后的一段序列会变成形如 $[f_i,f_{i+1}+1,f_{i+2}+2,...,f_{i+k}+k]$。
这一点与上面提到的修改操作一样，若 $p=k+1$, 此时 $su{m}_p$已经求得。
所以$su{m}_i=\Sigma [f_i,f_{i+1}+1,f_{i+2}+2,...,f_{i+k}+k]+su{m}_p$
其中$\Sigma [f_i,f_{i+1}+1,f_{i+2}+2,...,f_{i+k}+k]$ 是一个等差数列和。

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完成预处理之后，根据上文的分析，可以得出，询问的答案会变成：
${\sum }_{i=1}^p{f}_i+\sum [f_{i+1}+1,f_{i+2}+2,...,f_{i+k}+k]+su{m}_{k+1}$

本题中对序列f的二分，可以使用线段树上二分或者st表 + 二分答案实现，具体实现方法已经广为人知，就不做补充了。