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【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数

高等工程数学 突击笔记2

文章目录

  • 高等工程数学 突击笔记2
  • 写在前面
  • 一、谱半径
    • 什么是正规矩阵
    • 矩阵级数敛散性判断
  • 二、条件数
    • 举个栗子
    • 条件数求误差
    • 总结

写在前面

提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：

本文主要是为了应付考试，因此很多原理并不做推导

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、谱半径

谱半径是一个函数，但它不是矩阵范数。它可以给出特征值（谱）的范围，还可以用来研究矩阵级数的收敛性

谱半径就是矩阵范数值的最大下界
当矩阵是正规矩阵时* 2范数就等于谱半径等于最大的特征值*在这里插入图片描述

什么是正规矩阵

在这里插入图片描述往年试题常见的是在这里插入图片描述H表示共轭转置，就是转置之后再把里面的数取个共轭
例20年第二题在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
之后只要计算出最大的特征值就可以了
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数_第1张图片

矩阵级数敛散性判断

作为没学过级数的数二选手，只能写一些应付考试的东西了
因为书上例题和往年试题给的幂级数的收敛半径都是1 就姑且当作此类题就是拿谱半径和1比较
大于1则发散，小于1则收敛

例书P35【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数_第2张图片矩阵A可以直接求谱半径等于0.8，但是矩阵D全是0.几不好求，这时考虑到谱半径是矩阵范数的下界，因此找一个好求的范数算一下，求得D的无穷范数为0.9小于1，因此D的那个幂级数收敛。

二、条件数

举个栗子

在这里插入图片描述【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数_第3张图片给A加一丢丢扰动【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数_第4张图片

【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数_第5张图片可以看到一点点的扰动对结果产生了很大的影响，这就说明矩阵A是病态的，条件数越大的矩阵在这里插入图片描述数据引自: 矩阵论（六）：矩阵的条件数

条件数的定义在这里插入图片描述最常见的2条件数就是拿最大的特征值比最小的特征值
在这里插入图片描述

条件数求误差

一个公式
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记2 谱半径，条件数_第6张图片
例书1.39
懒得写了

总结

第一章考点差不多就这么多，如果实在想不起来就求个特征值写上去

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