第二章内容大致分成三个部分
因子们都是在λ矩阵中求的因此得先知道λ矩阵
方阵A的特征矩阵λI-A就是一个λ矩阵
定义:λ-矩阵A(λ)的全部的非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk (λ)称为k阶行列式因子。
不变因子和行列式因子的关系:不变因子di ,行列式因子Di 。d1 =D1 ,d2 =D2 /D1 …,dr =Dr /Dr-1 。
引自: 理解不变因子、行列式因子、初等因子
求行列式因子就是求λ矩阵子式的最大公因式。举个例子,对于一个3阶方阵B来说,它的三阶子式就是自己,那D3就等于∣B∣。而D2则是二阶子式的最大公因式,D1就是一阶子式的。。。
往年试题中往往是D3等于行列式,D2=D1=1.
例19年第三题
不变因子是将矩阵化成smith标准型后的对角线上的全部非0元素。smith标准型的化简是采用行和列变化,使其后一个对角线元素能整除前一个对角线元素。
引自: 理解不变因子、行列式因子、初等因子
不变因子d也可以直接由行列式因子求出(个人感觉更简单点 )
将初等因子中的λ依次放在对角线上组成Jordan块,之后将Jordan块拼起来。
盖尔圆分为行盖尔圆和列盖尔圆(坏了已经不认识盖字了 )具体求法看例子
有这样一个矩阵A
A的行盖尔圆为G1,G2,G3
其中圆心为对角线元素,半径为同行元素取模相加。画出来就是下图这样。
图片引自: 理解不变因子、行列式因子、初等因子
同样的,列盖尔圆只是半径取的是同一列元素取模求和
图懒的画了
值得注意的是,特征值在多个盖尔圆构成的连通部分中分布不平均,可能会在一个圆里有几个而另一个圆中没有。
而孤立的盖尔圆中恰有一个特征值,因此当几个圆相交的时候,我们需要想办法将盖尔圆隔离开来获得更准确的特征值分布。
根据相似矩阵特征值一样的特性,我们可以将原来的矩阵A做相似变换变成B,只要B的盖尔圆是分隔开的,我们就可以隔离出特征值了。
例18年第四题
直接求A的盖尔圆可见直接求A的盖尔圆不能证明三个特征值是分开的。
因此通过相似变换变成矩阵B
再求B的盖尔圆
可以看出这时三个圆已经分隔开来了。
注意变换矩阵D的取法.
二分之一对应的3号圆变大,其余的圆微微缩小。因此在特征值分离的问题中用这种方式将与其他圆较远的圆的半径变大来看看能否使另外两个缩小。
先写这么多吧,幂迭代下次再写。。。。