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【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型

高等工程数学 突击笔记3

文章目录

  • 高等工程数学 突击笔记3
  • 一、标准型
    • λ矩阵
    • 行列式因子D
    • 不变因子d
    • 初等因子
    • Jordan标准型
  • 二、盖尔圆
    • 特征值隔离
  • 总结

第二章内容大致分成三个部分

  • 标准型（行列式因子→不变因子→初等因子→Jordan标准型）
  • 特征值隔离（证明有互异特征值）→盖尔圆
  • 幂迭代（求最大），逆幂迭代（求最小）

一、标准型

λ矩阵

因子们都是在λ矩阵中求的因此得先知道λ矩阵

方阵A的特征矩阵λI-A就是一个λ矩阵

行列式因子D

定义：λ-矩阵A(λ)的全部的非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk (λ)称为k阶行列式因子。
不变因子和行列式因子的关系：不变因子di ，行列式因子Di 。d1 =D1 ，d2 =D2 /D1 …,dr =Dr /Dr-1 。

引自: 理解不变因子、行列式因子、初等因子

求行列式因子就是求λ矩阵子式的最大公因式。举个例子，对于一个3阶方阵B来说，它的三阶子式就是自己，那D3就等于∣​​B∣​。而D2则是二阶子式的最大公因式，D1就是一阶子式的。。。

往年试题中往往是D3等于行列式，D2=D1=1.
例19年第三题
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第1张图片

不变因子d

不变因子是将矩阵化成smith标准型后的对角线上的全部非0元素。smith标准型的化简是采用行和列变化，使其后一个对角线元素能整除前一个对角线元素。

引自: 理解不变因子、行列式因子、初等因子

不变因子d也可以直接由行列式因子求出（个人感觉更简单点 ）

在这里插入图片描述例19年第三题
在这里插入图片描述

初等因子

初等因子就是把不变因子中含λ的项因式分解出来
在这里插入图片描述

Jordan标准型

将初等因子中的λ依次放在对角线上组成Jordan块，之后将Jordan块拼起来。

【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第2张图片【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第3张图片

二、盖尔圆

盖尔圆分为行盖尔圆和列盖尔圆（坏了已经不认识盖字了 ）具体求法看例子
有这样一个矩阵A【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第4张图片
A的行盖尔圆为G1，G2，G3
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第5张图片其中圆心为对角线元素，半径为同行元素取模相加。画出来就是下图这样。
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第6张图片图片引自: 理解不变因子、行列式因子、初等因子
同样的，列盖尔圆只是半径取的是同一列元素取模求和
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第7张图片图懒的画了

例20年第二题
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第8张图片在这里插入图片描述

特征值隔离

值得注意的是，特征值在多个盖尔圆构成的连通部分中分布不平均，可能会在一个圆里有几个而另一个圆中没有。
而孤立的盖尔圆中恰有一个特征值，因此当几个圆相交的时候，我们需要想办法将盖尔圆隔离开来获得更准确的特征值分布。

根据相似矩阵特征值一样的特性，我们可以将原来的矩阵A做相似变换变成B，只要B的盖尔圆是分隔开的，我们就可以隔离出特征值了。

例18年第四题
在这里插入图片描述直接求A的盖尔圆【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第9张图片可见直接求A的盖尔圆不能证明三个特征值是分开的。
因此通过相似变换变成矩阵B
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第10张图片再求B的盖尔圆
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第11张图片
可以看出这时三个圆已经分隔开来了。
注意变换矩阵D的取法.
【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记3 不变因子与Jordan标准型_第12张图片二分之一对应的3号圆变大，其余的圆微微缩小。因此在特征值分离的问题中用这种方式将与其他圆较远的圆的半径变大来看看能否使另外两个缩小。

总结

先写这么多吧，幂迭代下次再写。。。。

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  • adb端口被占用问题 gqdy365 adb
    最近重新安装的电脑，配置了新环境，老是出现： adb server is out of date. killing... ADB server didn't ACK * failed to start daemon * 百度了一下，说是端口被占用，我开个eclipse，然后打开cmd，就提示这个，很烦人。 一个比较彻底的解决办法就是修改
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    在『代码之谜』系列的前几篇文章中，很多次出现了浮点数。 浮点数在很多编程语言中被称为简单数据类型，其实，浮点数比起那些复杂数据类型（比如字符串）来说， 一点都不简单。 单单是说明 IEEE浮点数 就可以写一本书了，我将用几篇博文来简单的说说我所理解的浮点数，算是抛砖引玉吧。 一次面试 记得多年前我招聘 Java 程序员时的一次关于浮点数、二分法、编码的面试， 多年以后，他已经称为了一名很出色的
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    import java.util.HashMap; public class Title { public static void main(String[] args){ f(); } // 二位数组的应用 //12、二维数组中，哪一行或哪一列的连续存放的0的个数最多，是几个0。注意，是“连续”。 public static void f(){
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      刚打开iteye就看到这个标题“Java什么时候比C++快”，觉得很好笑。   你要比，就比同等水平的基础上的相比，笨蛋写得C代码和C++代码，去和高手写的Java代码比效率，有什么意义呢？   我是写密码算法的，深刻知道算法C和C++实现和Java实现之间的效率差，甚至也比对过C代码和汇编代码的效率差，计算机是个死的东西，再怎么优化，Java也就是和C
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