动手学深度学习之softmax实现

Softmax回归

回归VS分类

• 回归估计的是一个连续值
• 分类预测一个离散类别

从回归到多类分类

• 回归

  • 单连续数值输出
  • 自然区间$\mathbb{R}$
  • 跟真实值区别作为损失
    

• 分类

  • 通常为多个输出
  • 输出i时预测为第i类的置信度
    

从回归到多类分类—均方损失

• 对类别进行一位有效编码：意思时一位代表一个类别。
  $y=[y_1,y_2,…,y_n]^T $
  $y_i=\{\begin{array}{cc}1& ifi=y\\ 0& otherwise\end{array}$
• 使用均方损失训练
• 最大值为预测：$\hat{y}=\underset{i}{\mathrm{argmax}}{o}_i$
• 需要更置信的识别正确类(大余量)：$o_y-o_i\ge \Delta (y,i)$，意思就是我们对正确类别的置信度特别大，使我们得到的正确类别的置信度$o_y$远远大于其他非正确类别的$o_i$
• 我们希望我们的输出是一个概率(这些概率非负并且和为1)，这样我们引入了一个新的函数softmax，我们将softmax作用在o上，得到一个长为n的向量，这个向量具有的属性是：长为n，所有的元素非负且和为1。
  $$\begin{gathered} \hat{y}=softmax(o) \\ \widehat{y_i}=\frac{exp(o_i)}{{\Sigma }_{k}exp(o_k)} \end{gathered}$$
• 使用y和$\hat{y}$的区别作为损失

Softmax和交叉熵损失

• 交叉熵常用来衡量两个概率的区别：$H(p,q)={\sum }_i-p_{i}log(q_i)$
• 将它作为损失：$l(y,\hat{y})=-{\sum }_i{y}_{i}log\widehat{y_i}=-log\widehat{y_y}$。式子中第二个等于的意思是对于正确类的交叉熵，对于分类问题我们不关心错误类别，只希望我们的到的正确类别的置信度要够大。
• 其梯度是真实概率和预测概率的区别：\partial_{o_i}l(y,\hat{y}) = softmax(o)_i - y_i。我们的目的就是不断的减小真实的值和我们预测的值之间的区别。

总结

• Softmax回归是一个多分类问题
• 使用softmax操作子得到的是每个类的置信度
• 使用交叉熵来衡量预测和标号的区别

损失函数

L2 Loss

• 均方损失
• $l(y,y^{{}^{\prime }})=\frac{1}{2}(y-y^{{}^{\prime }}{)}^2$

L1 Loss

• 绝对值损失函数
• $l(y,y^{{}^{\prime }}=|y-y^{{}^{\prime }}|$

Huber’s Robust Loss

• 好处是当我们离真实值远的时候保持梯度为一个确定的值，当我们离真实值近的时候梯度回越来越小
• $l(y,y^{{}^{\prime }})=\{\begin{array}{cc}|y-y^{{}^{\prime }}|-\frac{1}{2}& if|y-y^{{}^{\prime }}|>1\\ \frac{1}{2}(y-y^{{}^{\prime }}{)}^2& otherwise\end{array}$

图像分类数据集

MNIST数据集是图像分类中广泛使用的数据集之一，但作为基准数据集国语简单。我们将使用类似但更复杂的Fashion-MNIST数据集

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l

# svg显示图片
d2l.use_svg_display()

通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中

# 通过ToTensor实例将图像数据中PIL类型转变成为32位浮点数格式
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()  # 将图片转换为pytorch的一个tensor
# 从datasets里面下载FashioMNIST这个数据集，root表示存放目录，train表示是否为训练数据集，transform=trans表示拿出来是一堆tensor而不是图片，download表示是否从网上下载
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False, transform=trans, download=True)

len(mnist_train), len(mnist_test)

(60000, 10000)

# 这里表示取出第1个example的第1张图片
mnist_train[0][0].shape  # torch.Size([1, 28, 28])  黑白图片，所以channl数等于1，长和宽都是28

torch.Size([1, 28, 28])

两个可视化数据集的函数

X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
d2l.show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=d2l.get_fashion_mnist_labels(y))

array([,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ,
       ], dtype=object)

​

读取小批量数据，大小为batch_size

batch_size = 256

# DataLoader表示给丁数据集，批量大小，shuffle表示是否需要打乱顺序，num_workers表示使用多少进程
train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True, num_workers=d2l.get_dataloader_workers())

# 下面代码的作用是看我们读去数据的速度
timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
f'{timer.stop():.2f} sec'

'2.11 sec'

softmax回归从0开始实现

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

# 批量大小，表示我们每次读去256张图片
batch_size = 256

# load_data_fashion_mnist的内部过程和上面一样，这里封装好了，返回的是训练集和测试集的迭代器
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

将展平每个图像，将它们视为长度为784(28*28)的向量。因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。这里将图像展平的原因是：softmax的输入是一个向量，所以我们需要输入一个向量。

num_inputs = 784
num_outputs = 10

# 这里定义权重，normal表示高斯分布，这里表示均值为0，方差为0.01，形状为(784*10)的矩阵，requires_grad=True表示需要保存梯度
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)

# 对于每一个输出我们都需要一个偏移，这样我们就是要一个长为10的向量
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

实现softmax
$softmax(X{)}_{ij}=\frac{exp(X_{ij})}{{\sum }_{k}exp(X_{ik})}$

def softmax(X):
    # 这里的意思就是对每一个元素做指数计算
    X_exp = torch.exp(X)
    # 这里1表示按照维度为1来进行求和，也就是按行进行求和
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

接下来我们来验证一下上面的softmax函数是否正确，这里我们将每个元素变成一个非负数。此外，根据原理每行的和为1

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)

(tensor([[0.2509, 0.0402, 0.1908, 0.3485, 0.1696],
         [0.1274, 0.1734, 0.0993, 0.1793, 0.4206]]),
 tensor([1., 1.]))

实现softmax回归模型

def net(X):
    # 这里就是将X给reshape，-1表示让机器自己算，也就是总元素除以给出的维度中的元素个数。例如：2*5的矩阵我们(-1, 1)之后就是一个10*1的矩阵
    # 这里代码的意思就是将X，reshape，然后乘以权重加上偏差  
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

**补充：**创建一个数据y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率，使用y作为y_hat中概率的索引

y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]

tensor([0.1000, 0.5000])

实现交叉熵损失函数

def cross_entropy(y_hat, y):
    return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
cross_entropy(y_hat, y)

tensor([2.3026, 0.6931])

将预测类别与真实y元素进行比较

def accuracy(y_hat, y):
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        # 取出每一行元素值最大的下标
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)  
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())
accuracy(y_hat, y) / len(y)

0.5

我们可以评估在任意模型net的准确率

def evaluate_accuracy(net, data_iter):
    """计算在指定数据集上模型的精度。"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    # 正确预测数，预测总数
    metric = d2l.Accumulator(2)  # Accumulator表示一个含有两个元素的累加器
    for X, y in data_iter:
        # 这里是将我们所有预测正确的样本数和样本总数放到累加器里面
        metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())  # numel函数的作用是返回tensor中总元素数目。
    return metric[0] / metric[1]

evaluate_accuracy(net, test_iter)

0.1264

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）。"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = d2l.Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.backward()
            updater.step()
            metric.add(
                float(l) * len(y), accuracy(y_hat, y),
                y.size().numel())
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
            metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练准确率
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

定义一个在动画中绘制数据的实用程序类

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据。"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes,]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(self.axes[
            0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

训练函数

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）。"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数

lr = 0.1
def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

num_epochs = 5
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

​

​

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签（定义见第3章）。"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true + '\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)

​

​

softmax回归的简洁实现

通过深度学习框架的高级API能够使实现softmax回归变得更加容易

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

Softmax回归的输出层是一个全连接层

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状
# 因此，我们定义了展平层(flatten)在线性层前调整网络输入形状

# nn.Flatten的作用就是将任意维度的tensor拉成一个一维的，其中第0维度保留。Linear的作用是定义一个线性层输入是784输出是10
# 然后我们将这两个串在一起放在Sequential中，就可以拿到一个network
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))  

# m表示一个layer，这个函数的作用就是：当m是一个线性层的话我们就将它的weights初始化为一个均值为0，默认为0，方差为0.01的随机值
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

# 这里是将每一层应用一下初始化函数
net.apply(init_weights);

在交叉熵损失函数中传递未归一化的预测，并同时计算softmax及其对数

loss = nn.CrossEntropyLoss()

使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

调用之前定义的训练函数来训练模型

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)