老饼讲解机器学习
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【逻辑回归】逻辑回归sigmoid函数的由来

 本站原创文章，转载请说明来自《老饼讲解-机器学习》ml.bbbdata.com

目录

一、信息获得量   

二、信息获得量的初始值   

三、条件下的信息获得量   

四、信息量差模型   

五、最终的Sigmoid格式模型  

在学习逻辑回归模型时总是疑问sigmoid函数怎么来的，怎么一下子就把WX转换成了概率。在学习评分卡时，又很奇怪，怎么把逻辑回归和WOE,IV（证据权重、信息量）联系在一起，总感觉和教材中的不一样，但查找资料，却没有找到一个很合理的说法。

随着知识的沉淀，后来慢慢地就明白理解其中SIGMOID函数的意思了，本文讲解，逻辑回归模型sigmoid函数由来的思路与推导。

【逻辑回归】逻辑回归sigmoid函数的由来_第1张图片

声明：由于没有找到具体的可靠文献，本文是笔者个人的理解，仅供参考，转载或参考本文，请说明来源于《老饼讲解-机器学习》。

由于推导是基于香农信息量，香农信息量的简单介绍请参见《信息量与信息熵》

一、信息获得量   

从信息的角度来看待类别预测问题，我们先考察"知道样本属于类别1"这件事获得的信息量.
记样本属于类别1的概率为p,

则"知道样本属于类别1"获得的信息量为：

h_{c1} = -\textbf{ln}(p)

二、信息获得量的初始值   

在我们不知道任何变量的信息，唯一知道的信息只有历史样本中类别1出现次数的占比时，
那么类别1出现的占比就是"样本属于类别1的概率",记为p0,此时则有

h_{c1} = -\textbf{ln}(p)=-\textbf{ln}(p_0)


也即是说，在不知道任何变量信息时，我们从"知道样本属于类别1"这件事获得的信息量为-\textbf{ln}(p_0)

三、条件下的信息获得量   

如果知道了x1的值，那么，我们已知的信息就多了一点，从"知道样本属于类别1"这件事获得的信息量就少了一点。
假设知道x_1 获得的信息为w_1x_1 ,那么就有

h_{c1}= -\textbf{ln}(p) = -\textbf{ln}(p_0) - w_1x_1

同理的，每知道多一个xi，都会减少从“知道样本属于类别1"这件事中获得的信息量
如果知道x_1,x_2,x_3....x_n ，则有

h_{c1} = -\textbf{ln}(p) = -\textbf{ln}(p_0) - w_1x_1-w_2x_2-...-w_nx_n

类似地，"知道样本属于类别0"的信息获得量为：

h_{c0}=-\textbf{ln}(1-p) = -\textbf{ln}(1-p_0) - w_1x_1-w_2x_2-...-w_nx_n

  说明：h_{c1}和h_{c0}中的w_i不是同一个东西哦，这里为方便，用了同一个符号
需要注意，信息量能直接相加减的前提是各变量独立哦。


四、信息量差模型   

由于信息量只能是正数，每项w_ix_i 都必须是正数，如此一来，就需要对w_i作出限制，比较麻烦，因此使用信息量差来构建模型,可以省去对w_i的限制，
详细如下：
为方便区分，我们先把h_{c1} 和h_{c0} 的系数改为a、b，如下


 
计算“知道样本属于类别1”和“知道样本属于类别0”获得的信息量之差，由h_{c1} -h_{c0}
 得：

\begin{aligned} &[-\textbf{ln}(p)]-[-\textbf{ln}(1-p)] \\&= [-\textbf{ln}(p_0) - a_{1}x_1-a_{2}x_2-...-a_{n}x_n]-[-\textbf{ln}(1-p_0) - b_{1}x_1-b_{2}x_2-...-b_{n}x_n] \\ &= -\textbf{ln}(\dfrac{ p_0}{1-p_0}) - (a_{1}-b_{1)}x_1-(a_{2}-b_{2})x_2-...-(a_{n}-b_n)x_n \end{aligned}


​
 
即可得到模型，

h_{c1} -h_{c0}=\Big [ - \textbf{ln}(p) \Big] - \Big [-\textbf{ln}(1-p)\Big] = -b - w_1x_1-w_2x_2-....-w_nx_n


 


✍️这里，我们分析下模型中各项的意义：
1.  -b代表什么变量都不知道的情况下,“知道样本属1类”和“知道样本属0类”所获得的信息量之差。
2. w_ix_i就是 "知道x_i的值"这件事发生后 , 带给 “知道样本属1类”信息下降量 比  带给 “知道样本属0类”的信息下降量 会多多少。
3. w_ix_i>0，则说明 x_i带给 “知道样本属1类”的信息下降量 更多些，也就是 "样本属1类”这件事会更趋明确化，越明确的事件，概率就越小，也就p会更加大。

五、最终的Sigmoid格式模型  

 将上述得到的模型进行化简，就有：

\begin{aligned} \Big [ - \textbf{ln}(p) \Big] - \Big [-\textbf{ln}(1-p)\Big] &= -b - w_1x_1-w_2x_2-....-w_nx_n \\ \textbf{ln}(1-p) - \textbf{ln}(p) & = - (w_1x_1+w_2x_2+....w_nx_n +b) \\ \textbf{ln}\left(\dfrac{1-p}{p} \right) & = -\left ( w_1x_1+w_2x_2+....w_nx_n +b \right ) \\ \textbf{ln}\left(\dfrac{1}{p} -1\right) & = -\left ( w_1x_1+w_2x_2+....w_nx_n +b \right ) \\ \dfrac{1}{p} -1 & = \textbf{exp}( -[w_1x_1+w_2x_2+....w_nx_n +b] ) \\ p & = \dfrac{1}{ 1+\textbf{exp}\left ( -[w_1x_1+w_2x_2+....w_nx_n +b] \right ) } \end{aligned}


 
也就得到模型

p = \textbf{sigmoid} (w_1x_1+w_2x_2+....+w_nx_n)


其中，

\textbf{sigmoid}(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}

这就是逻辑回归中sigmoid函数的来源。

写后语

整个文章写完花了一天，
中间被BUG卡住，还骑电车逛了几个村
写完情不自禁算一下这文章的直接成本是多少：
     1.奶茶2杯             ：15+10 = 25元   
     2.奥尔良大鸡腿一个    ：10元           
     3.1906硬1.5包         ：18*1.5 = 27元  
     4.麻辣烫+可乐         ：18+2 =20元     
     5.电车充电            ：2元            
     6.房租：              : 70元           
    -----------------------------------------------
共计：154元     

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