离散数学复习笔记（已完结）

前言

本篇为《离散数学》学科的个人复习笔记，知识点有所偏重。
课本是上海科学技术文献出版社左孝凌版的《离散数学》。
课本中定义和定理过多，文章中只记录课本中和课堂上重要常用的的定义和定理，不会做深入的解释，会有一些疏漏。
因为部分符号打不出来，所以中间插入的图片会比较多。
已完结。如有错误烦请提出。
以下是正文

离散数学主要分为四部分：

1. 数理逻辑
2. 集合论
3. 代数系统
4. 图论

数理逻辑

古典逻辑

亚里士多德的三段论：

大前提 --> 小前提 --> 结论

莱布尼兹把推理归纳为符号计算，提出思维运算的思想。
布尔发明布尔代数,（亦可解释为集合代数）
摩根几乎同时独立地作出重要贡献
弗雷格第一个提出公理化谓语逻辑系统“概念文字”，是亚里士多德以来逻辑的重大进展，基本实现莱布尼兹的梦想。

数理逻辑的内容：

命题逻辑
谓词逻辑
公理化集合论
递归论
证明论

命题逻辑

基本概念

定义：

命题是一个能判断真假的陈述句

命题不能是疑问句、命令句、感叹句等

真值的几点说明：

时间性
区域性
标准性

定义：

对于一个任意给定的命题，如果不能分解为更简单的命题，就称为原子命题，反之，成为复合命题。

命题联结词

否定，合取，析取，蕴含(条件)、等值

需要注意的有：

1. 条件（蕴含）：当且仅当 P 为真，Q 为假时，P→Q 为假；否则， P→Q 均为真。
   条件 → 决定了哪个作为前件，哪个作为后件。
2. 双条件（等值）：当且仅当P、Q相同的时候，P↔Q为真，否则为假。
3. 优先级：

否定 > 合取 > 析取 > 条件 > 双条件

4. 不可兼或 （不可兼析取）：▽
   （与异或相似）
   

例题：

公式分类

赋值永远是“真”值的式子称为永真公式，又称重言式。

赋值永远是“假”值的式子称为永假公式，又称矛盾式。

既有真值又有假值的式子称为可满足式

命题等价

定义

如果对两个公式Ａ，Ｂ不论作何种指派，它们的真值均相同，则称Ａ，Ｂ是逻辑等价的，亦说Ａ等价于Ｂ，记A⇔B.

定理

命题公式A⇔B的充要条件是A↔B为永真式。

常用等价式：

除了利用真值表的方法证明两个命题公式的等价，还可以采用等价代换（等价置换）的方法进行证明。

利用公式的等值演算，可以实现以下三个基本目的
判定命题公式的基本类型，即判定或证明一个命题公式为永真或永假
证明两个命题公式之间具有等值关系
对复杂的命题公式进行化简。

命题蕴含

定义

命题公式Ａ称为永真蕴含命题公式Ｂ，当且仅当Ａ→Ｂ是一个永真式，记作：Ａ=>Ｂ
注意 A=>B 与 A→Ｂ 的区别

其他联结词的补充：

对偶与范式

对偶

范式


简单合取式又称小项，真值表中小项为“真”，全体小项的析取式（即为主析取范式）为永真式。
简单析取式又称大项，真值表中大项为“假”，全体大项的合取式（即为主合取范式）为永假式。

对于任意命题公式，都存在与其等值的析取范式和合取范式。
真值表中小项为真，大项为假。

例：离散数学程序实验（C语言）——程序求主析取范式和主合取范式
输入一个逻辑表达式，根据真值表法求取该表达式的主合取范式和主析取范式。

算法思路：
把命题公式改为后缀表达式，并把后缀处理的结果保存在结构体里，对各个逻辑运算符号进行优先级的定义，按照后缀表达式的方法进行赋值计算并将结果输出存储为真值表。按照真值表选择输出主合取范式和主析取范式。
（此处附上实验代码仅供参考）

#include
#include
#define T 1
#define F 0
struct Stack{
    int top;
    char zf[80];
}number={-1},symbol={-1};
//number储存后缀表达式结果
//symbol 操作符栈，用来保存操作符 
int book[26];//记录变元元素和个数 
int num=0;//记录变元的个数 
int alphabet_true_false[26];
int enum_result[80];
char str_copy[80];
void numbers(char str[]);
void strings(char str[]);
void reverse_polish(char s[]);
int check(int num);
void function(int num);

int main()
{
    int i=0;
    char str[80];
    printf("**************************************\n");
    printf("使用小写字母表示变元，\n使用‘&’表示合取，\n使用‘|’表示析取,\n使用‘>’表示条件,\n使用‘<’表示双条件\n");
    printf("**************************************\n");
    strings(str);
	reverse_polish(str);
    function(num);
    return 0;
}

void numbers(char str[]){
	int i,len=strlen(str);
	for(i=0;i<len;i++){
        if(str[i]>='a'&&str[i]<='z'){
            if(book[str[i]-'a']==0){ 
				book[str[i]-'a']=1;    
				++num; 
			} 
    	}      
    }
}
 
void strings(char str[]){
	int i;
    gets(str);
    strcpy(str_copy,str);
    
    numbers(str);//记录变元的个数,用全局变量num储存 
    int len=strlen(str);
    for(i=0;i<len;i++){
        switch(str[i]){
            case '!':str[i]=')'+5;break;
            case '&':str[i]=')'+4;break;
            case '|':str[i]=')'+3;break;
            case '>':str[i]=')'+2;break;
            case '<':str[i]=')'+1;break;    
        }
    }
}

void reverse_polish(char s[]){
    int i,len=strlen(s);
    for(i=0;i<len;i++){
        if(s[i]>='a'&&s[i]<='z'){//如果是命题变元就直接入number栈 
            number.zf[++number.top]=s[i];          
        }else if(s[i]>')'&&s[i]<=5+')'){        //符号为逻辑运算符
            if(symbol.top==-1||symbol.zf[symbol.top]==')'){  
                ++symbol.top;
                symbol.zf[symbol.top]=s[i];
            }else if(s[i]>=symbol.zf[symbol.top]){
                ++symbol.top;
                symbol.zf[symbol.top]=s[i];
            }else{
                while(symbol.top!=-1&&s[i]<symbol.zf[symbol.top]){
                    ++number.top;
                    number.zf[number.top]=symbol.zf[symbol.top];
                    --symbol.top;
                }
                --i;
            }
        }
		else if(s[i]=='('||s[i]==')'){  
		    if(s[i]=='('){
                ++symbol.top;
                symbol.zf[symbol.top]=s[i];
            }else{
                while(symbol.zf[symbol.top]!='('){
                    ++number.top;
                    number.zf[number.top]=symbol.zf[symbol.top];
                    --symbol.top;              
                }
                if(symbol.top!=-1)--symbol.top;
            }
        }       
    }
    while(symbol.top!=-1){
        ++number.top;
        number.zf[number.top]=symbol.zf[symbol.top];
        --symbol.top;                                
    }
}

int check(int num){
	struct Stack ans={-1};
	int i,k=0,len=0,temp;
	for(i=0;i<26;i++){
		if(book[i]){
			++len;
			alphabet_true_false[i]=enum_result[k++];

		}
	}
	for(i=0;i<=number.top;i++){
		if(number.zf[i]>='a'&&number.zf[i]<='z'){
			++ans.top;
			ans.zf[ans.top]=alphabet_true_false[number.zf[i]-'a'];
		}else{
			switch(number.zf[i]){
				case '.':
					ans.zf[ans.top]=!ans.zf[ans.top];
					break;
				case '-':
					ans.zf[ans.top-1]=ans.zf[ans.top-1]&ans.zf[ans.top];
					--ans.top;
					break;
				case ',':
					ans.zf[ans.top-1]=ans.zf[ans.top-1] | ans.zf[ans.top];
					--ans.top;
					break;
				case '+':
					ans.zf[ans.top-1]=!ans.zf[ans.top-1]|ans.zf[ans.top];
					--ans.top;
					break;
				case '*':ans.zf[ans.top-1]=
									 (!ans.zf[ans.top-1]|ans.zf[ans.top])
									&(!ans.zf[ans.top]|ans.zf[ans.top-1]);
					--ans.top;
			}
		}
	}
	printf("%4d\n",ans.zf[0]); 
	return ans.zf[0];
}

void function(int num){
	int i,j;
	int conjunction_top=-1,disjunction_top=-1;
	int result_conjunction[80]={0};
	int result_disjunction[80]={0};
	
	
	for(i=0;i<26;i++)
        if(book[i])printf("%4c|",i+'a');
	putchar(' '),puts(str_copy);
	for(i=0;i<(1<<num);i++){// 
		memset(enum_result,0,num);
		for(j=0;j<num;j++){
			if(i&(1<<(num-j-1))){
				enum_result[j]=T;
			}else{
				enum_result[j]=F;
			}
			printf("%4d|",enum_result[j]);
		}
		if(check(num)){
			result_disjunction[++disjunction_top]=i;
		}else{
			result_conjunction[++conjunction_top]=i;
		}
	}
	puts("\n主析取范式为：");
	for(i=0;i<=disjunction_top;i++){
		printf("m%d%s",result_disjunction[i],i^disjunction_top?"&":"");
	}
	puts("\n主合取范式为：");
	for(i=0;i<=conjunction_top;i++){
		printf("M%d%s",result_conjunction[i],i^conjunction_top?"|":"");
	}
}

推理理论

验证推理有效性的方法：

真值表
命题演算

命题演算三要素：

推理依据
推理规则
推理方法

推理规则：

P 规则（引入前提规则）：在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T 规则（引入结论规则）：在推导过程中，如果前面有一个或多个命题公式永真蕴含命题公式 S，那么就可以把公式 S 也引入到推导过程之中。
CP规则：如果H1∧H2∧…∧Hn∧R => S,则H1∧H2∧…∧Hn => R→S

推理依据：

主要指已知的逻辑等价式和逻辑蕴含式

推理方法：

直接证法
间接证法（反证法 和 附加前提条件证法）

直接推理
由一组前提，利用P规则，T规则直接推演得到有效结论的方法。
条件论证（附加前提条件证法）
如果要证明的结论是R→S形式，则可以把结论中R→S的前件R作为附加前提，与给定的前提一起推出后件S即可。
反证法：
要证明H1，H2，…，Hn=>C,只要证明 {H1，H2，…，Hn , ﹁C} 是不相容的即可
解释：要证明H1，H2，…，Hn=>C,只要证明 H1∧H2∧…∧H3=>F 即可

谓词逻辑

基本概念

在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解，这样会产生两大缺点：
（1）不能研究命题内部的结构，成分和内部逻辑的特征；
（2）也不可能表达两个原子命题所具有的共同特征，甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。

因此：

我们可将原子命题分解成两部分：个体（名词，代词）+ 谓词（动词）。

在命题的研究中，基于谓词分析的逻辑，称为谓词逻辑。谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。

客观世界中可以独立存在的具体或抽象对象称为个体（客体）,表示个体的词称为个体词。若个体词以常量的方式表示特定个体，则称之为个体常量；若个体词以变量的方式泛指不确定的个体，则称之为个体变量。

表示个体（客体）特征、性质或关系的词，称为谓词。

谓词与个体常量一起可以表示一个命题

由一个谓词和一些个体变元组成的表达式，称为简单谓词函数。如果一个函数包含n个个体变元，则称为n元简单谓词函数。

谓词函数不是命题，只有当所有的个体变元都用确定的个体代入时，才表示一个命题

由简单谓词函数和命题连结词组成的表达式，称为复合谓词函数。

对于一个谓词函数，每个个体变元都有其取值范围，该取值范围，称为是该个体变元的个体域（论域）

全称量词
“∀”几种表达式的读法：
∀ x P(x)： “对所有的x，x 是…”；
∀ x ¬ P(x) ： “对所有x，x 不是…”；
¬∀ x P(x) ： “并不是对所有的x，x 是…”；
¬∀ x ¬ P(x) ： “并不是所有的x，x 不是…”。

存在量词
“∃”几种表达式的读法：
∃ x P(x)： “存在一个 x，使 x 是…”；
∃ x ¬ P(x) ： “存在一个 x，使 x 不是…”；
¬ ∃ x P(x) ： “不存在一个 x，使 x 是…”；
¬ ∃ x ¬ P(x) ： “不存在一个 x，使 x 不是…”。

例题：

约束变元
辖域：紧接在量词后面括号内的谓词公式。

例如 ∀x P(x) ，∃ x (P(x) ∧ Q(x)) 。
若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。

约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。
自由变元：当且仅当不受量词的约束。

对于一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式

谓词演算的等价式与蕴含式

谓词演算的推理推论

命题推理的基本元素 推理规则：P规则、T规则、CP规则
推理方法：真值表法、直接证法、间接证法
推理依据：等价式、蕴含式

在谓词演算中，由于在前提和结论中的谓词公式常带有量词，因而要使用命题演算的等价式和蕴含式需要消去和添加量词。

谓词演算的推理规则：
全称指定(US)、存在指定(ES)、全称推广(UG)、存在推广(EG)。

例题：

集合论

基本概念

集合定义：集合是包含不同对象的一个无序的聚集。集合元素在集合里面叫做A包含a，记作a ∈ A。

集合的描述有：列举法：一一列举几个里面的元素，还有采用集合构造器，叙述法。

集合相等：两个集合当且仅当它们拥有相同的元素。就是说：A与B是集合，则A与B相等的条件是当且仅当（任意X）(X∈A & X∈B)，若A与B相等，则A=B

特殊运算

运算性质

包容排斥原理（容斥原理）

序偶与笛卡尔积

序偶：有序二元组的称呼，可以看作一个有顺序的集合，记作

序偶不同于集合的是序偶是有顺序的， != ，相当于键值对。

笛卡尔积：A与B是集合，那么A与B的笛卡尔积相当于A*B，表示,其中：a∈A ,b∈B

满足分配律：

关系

关系的基础概念

集合A与B的关系可以记作 A * B里面的子集属于一个关系，也就是说，一个从A到B的二元关系就是A * B的子集。

我们可以这么记：对于一个二元关系R，R里面的任意一个序偶可以记作∈R 或者 !∈ R

要么是xRy 或者 x !R y

前域：在二元关系 E R里面，由所有x组成的集合叫做前域。

值域：在二元关系 E R里面，由所有y组成的集合叫做值域。

域：由前域与值域最初 相当于前域与值域的并集。

关系矩阵：我们有两个有限集合：X = {x1,x2,x3,……,xm}，Y={y1,y2,y3,……,yn}，R是X到Y上的一个二元关系，那么就有相应的关系矩阵：M = [rij]m*n

关系的性质

自反的关系：R是集合X上面的二元关系，如果对于每一个x ∈X,有xRx，就称R是自反的。

反自反关系：我们在自反的基础上面不能出现xRx的情况。

对称关系：对于关系里面x,y ∈ X，每当xRy，就有yRx，就X上面关系R是对称的。

反对称关系：大概地说，集合 X 上的二元关系 R 是反对称的，当且仅当不存在X里的一对相异元素a, b，它们相互 R-关系于彼此

传递关系：对于x, y, z ∈ X，每当xRy, yRz时就有xRz,就称R在X上是传递的。

关系的性质

该有的序偶不能没有
自反性：应该含有所有
对称性：如果有就应该有
传递性：如果有和就应该有
该有的序偶没有就不满足

不该有的序偶不能有
反自反性：不应该含有任何
反对称性：如果有就不应该有
不该有的序偶有了就不满足

从关系矩阵、关系图来判断五个性质:
1、自反的:
关系矩阵的对角线上元素全为1,关系图中每个结点均有自回路。
2、对称的:
关系矩阵是对称矩阵，关系图中若两个结点之间有有向弧，则必成对出现
3、反自反的:
关系矩阵中对角线元素全为0,关系图中每个结点都没有自回路。
4、反对称的:
关系矩阵以对角线对称的元素不能同时为1，(但可为对称阵，同时为0)
关系图中如果两个结点之间有有向弧，则不能成对出现。
5、传递性:
不能明确判断，只能用定义。

特殊关系的性质：

空关系： 反自反性，对称性，反对称性，传递性
全域关系：自反性，对称性，传递性
恒等关系：自反性，对称性，传递性

复合关系和逆关系

复合关系:
定义:

R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系，则R和S的复合关系R°S称为R和S的复合关系，表示为: RoS=
{|x∈X且z∈Z(y∈Y ,∈R且 ∈S)}

复合关系相当于一个个元素进行传递，看是否满足传递关系。

逆关系:
R是X到Y的二元关系，把R中每一序偶的元素次序颠倒，得到的关系称为R的逆关系，记作R^c:

闭包运算

来自：https://blog.csdn.net/weixin_46503355/article/details/108060144

集合的划分

把一个集合A分成若干，叫做划分。

等价关系与等价类

若集合A上的关系R，满足自反性，对称性，传递性，则称R为A上的等价关系。

等价类：
商集：

R是A上等价关系，由R的所有等价类构成的集合，称为A关于R的商集。记作A/R。
即

等价关系与划分

相容关系

对于A上的关系R，若R是自反的，对称的，则称R是相容关系。

序关系

偏序关系
A上一个关系R，若R满足自反性，反对称性和传递性，则R是A上的一个偏序关系。记作≼
设≼为偏序关系, 如果∈≼, 则记作 x≼y, 读作 x小于或等于y
序偶称偏序集
在偏序集合 中，设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果 x ≺ y且不存在 z ∈ \in ∈A 使得 x ≺ z ≺ y, 则称 y 盖住（覆盖）x.
链与反链
在偏序集合 中，在A的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称该子集为链。

如果子集中每两个元素是无关系的，则称这个子集为反链。

全序关系
在偏序集 ， 若A是一个链，则称为全序集合（或线序集合）。在这种情况下，二元关系≼称为全序关系或线序关系。

哈斯图

对序关系关系图的一种简化画法

① 由于序关系自反，各结点都有环，省去；

② 由于序关系反对称且传递，所以关系图中任何两个不同的结点直接不会有双向的边或通路，所以省去边的箭头，把向上的方向定为箭头方向

③ 由于序关系传递，所以省去所有推定的边。

设为偏序集, B⊆A, y∈B.

若 ∀x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元.（唯一）
若 ∀x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元.（唯一）
若 ¬∃x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元.（局部最大）
若 ¬∃x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.（局部最大）

设为偏序集, B⊆A, y∈A.

若 ∀x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B的上界.
若 ∀x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为B的下界.
令C＝{y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界 或 上确界.
令D＝{y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界 或 下确界.

函数

基本概念

函数
设 F 为二元关系, 若任意x∈domF 都存在唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数

对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.

f的前域就是函数f(x)的定义域，记作domf = X；
f 的值域 ranf ⊆ Y
集合Y称作 f 的共域.

满射：
若 ranf = Y,则称映射为满射（上映射）
单射（入射）：
不同x对应不同的y
双射：
若映射 f 既是满射，又是入射，则称这个映射是双射。

复合函数、特征函数与基数

设F, G是函数, 则F○G也是函数, 且满足

(1) dom(F○G)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}
(2) 任意x∈dom(F○G)有F○G(x)=F(G(x))

反函数

设 f:A→B，且f为双射，则
f-1 :B→A，且f-1也为双射.
若 f: A→B 为双射，则 f-1: B→A 称为 f 的反函数 两个函数的复合是一个函数

特征函数

特征函数:
χA:E→{0,1}, χA(x)=1⟺x∈A
当 Φ⊂A⊂E时, χA是满射

基数

设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数（A到B是单射和满射）, 就称A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B 等势,
则记作A≉B.

也可定义为：

给出两个集合，两个集合的元素间一一对应，则A,B等势，记作A~B（双射）

N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N

任何实数区间都与实数集合R等势

所有与集合A等势的集合所组成的集合，叫做集合A的基数，记作K[A]。

与自然数集合等势的任意集合称为可数的。

我们把有限集和可数集称为至多可数集。

可数集的任何无限子集是可数的

任一无限集，必含可数子集。
任一无限集，必与某一真子集等势。

若集合A到集合B存在一个入射，则A基数不大于B基数即A≤B。

代数系统

代数结构

基本概念

一个集合加上若干个运算就表示一个代数系统，记。
对集合A，一个Aⁿ 到B的映射，成为A上的n元运算。

可以用运算表来分析代数系统。

性质：

封闭性：

x∈A,b∈A，a*b∈A；
满足性质时，运算表中：
运算表中每个元素都属于A。

交换律：
x * y = y * x；
满足性质时，运算表中：
运算表关于主对角线对称。
分配律：
x * (y ^ z) = (x ^ y ) * (x ^ z)；
无法从运算表中看出。
吸收律：
x * (y ^ z) = x
x ^ (y * z) = x
无法从运算表中看出。
等幂性：
x * x = x ；
满足性质时，运算表中：
主对角线上每一元素都与它所在行（列）表头元素相同。
零元：
x * ⊙ = ⊙；（右零元）
⊙ * x = ⊙；（左零元）
满足性质时，运算表中：
零元元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。

幺元（单位元）：
x * e = x;（右幺元）
e * x = x;（左幺元）
满足性质时，运算表中：
幺元所对应的行或列都与运算表中的行和列一致。

逆元：
x * y =e;（y是x的右逆元）
y * x = e;（y是x的左逆元）

其他定理：

零元不存在逆元
在满足结合律时，一个数的逆元是唯一的。
若a * a = a ，则a为等幂元。

半群、群、子群

广群： 满足封闭性的代数系统
封闭性

半群： 可结合的广群
封闭性、可结合

独异点： 存在幺元的半群
封闭性、可结合、存在幺元、

群： 任意元素存在逆元的独异点。
封闭性、可结合、存在幺元、两个元素间存在逆元

定理及推论

1. 独异点在运算表中没有相同的行与列。
2. (a^-1)^-1 = a ;
3. (a*b)^-1 = b^-1 * a^-1 ;
4. 有限群G中元素个数为有限群的阶数。
   整数集合是个群。
5. 设是半群、独异点或群，如果S是一个有限群，则必有a∈S，使得a * a = a。(存在等幂元)
6. 在群>中，对于任意a,b,c属于G，如果ab = ac 或者ba = c*a ，则有b = c。（消去律）
7. 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 群的运算表中的每一行或是每一列都是G的元素的一个置换。
8. 在群中，除了幺元e，不可能有其他的等幂元。
9. 对于群，设存在子集>,那么>中的幺元一定是的幺元。
10. 对于群，设存在子集，若S={e},或者S = G，则称是的平凡子集。
11. 对于群>，B是G的非空子集，若B是一个有限集，那么，只要运算 * 在B上封闭，则>必然是 的子群。

阿贝尔群、循环群

交换群，又称阿贝尔群，指运算满足交换律的群。

循环群：
设为群，若在G中有一个元素a，是的G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a成为循环群的生成元。

生成元可不唯一。
任一个循环群必是交换群。

若G阶数为n，即 |G| = n，则 aⁿ = e ;
其中e为幺元，n是使 aⁿ = e 的最小正整数，称n为元素a的阶数。

置换群

暂略。

陪集和拉格朗日定理

设是一个群，为一子群，a是G中元素：
aH={a * h|h∈H} H关于a的左陪集
Ha={h * a|h∈H} H关于a的右陪集
a称为陪集的代表元素

划分

每个元素非空。不存在空块
所有元素并集为G
任两个元素交集为空

等价关系
关系R满足自反、对称、传递

若∈ R，称x等价于y，记作x~y

等价类
有等价关系的元素组成的一个集合，记为[a]_R

a称为[a]_R的代表元素

商集 A/R

以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集

子群的指数

G对H的陪集的集合的基数，即陪集的数目，记为[G:H ]

若A,B表示集合：

A和B的积：
AB = {a * b | a∈A , b∈B }

A和B的逆：
A^-1 = {a^-1 | a∈A }

拉格朗日定理：
H为G的子群，则：

R={|a∈G,b∈G且a^-1 *b∈H}
R是G上的一个等价关系。
对于a∈G，若记[a]_R={x|x∈G且∈R}，则[a]_R=aH
如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m|n。（ | ：表示整除）

推论：

素数阶群的子群一定是平凡群。（质数阶的群不存在非平凡子群）
设是n阶群，则对任意a∈G，有aⁿ=e
有限群中，元素的阶能整除群的阶
素数阶群一定是循环群，且每个非幺元均为生成元
设是n阶有限群，那么对于任意的a∈G，a的阶必是n的因子且必有aⁿ = e，这里e是的幺元，如果n为质数，则必为循环群。

同态和同构

设和是两个代数系统。

f是A到B的一个映射。

对任意x,y∈A，有：
f(x * y ) = f(x) ∧ f(y)
则称f为由到的一个同态映射。
记为 A ~ B
为的一个同态象

若f同时是双射，则称f为同构映射。
同构关系是等价关系

记作A ≌ B
性质：
若是半群，则也是半群。
若是独异点，则也是独异点。
若是群，则也是群。

同态核：
设f为群到群的同态映射，e’为G’的幺元，记
Ker(f) = {x | x∈ G 且 f(x) = e’ }
称Ker(f) 为同态映射f的核，简称同态核。

环与域

设是一个代数系统， 若满足：

1. 是阿贝尔群（交换群）
2. 是半群
3. 运算* 对运算+满足分配律。 则称为环。

为了区别环中的两个运算，通常称＋运算为环中的加法，·运算为环中的乘法。
零元
加法单位元，记为0(θ)
单位元
乘法单位元，记为1
负元
加法逆元，记为-x
逆元
乘法逆元，记为x-¹

例子
实数环
有理数环
整数环
n(I),＋, ·> n阶整数矩阵环
k , ＋_k, ×_k> 模k整数环
(Z[i]=a+bi,a,b∈Z,i²=-1) 高斯整数环 (复数)
R[x]为实数多项式

设是一个代数系统， 若满足：

1. 是阿贝尔群（交换群）
2. 是可交换独异点，且无零因子。
3. 运算* 对运算+满足分配律。
   则称为整环。

整环中的无零因子条件等价于乘法消去律。

设是一个代数系统， 若满足：

1. 是阿贝尔群（交换群）
2. 是阿贝尔群
3. 运算* 对运算+满足分配律。
   则称为域。

性质：
1.域一定是整环。
2.有限整环必是域。
3.任一个环的同态象是一个环

设V1=,∘>和V2=是两环，其中、∘、⊛和◎都是二元运算。
f 是从A到B的一个映射，使得

对∀a, b∈A有：
​ f(a*b)=f(a)⊛f(b) ​
f(a∘b)=f(a)◎f(b)

则称f是环V1到环V2的同态映射

分类
如果f是单射、满射和双射，分别称f是单同态、满同态和同构
同态像及其特性
是的同态像。

任何环的同态像是环

格和布尔代数

格的基本概念

设是一个偏序集，如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称为格。

在格中，定义∨和∧两个运算，a∨b表示求a和b的最小上界，a∧b表示求a和b的最大下届，分别称其为并运算和交运算。

全序集是一个格，不是所有偏序集都是格.

性质：

设为格是一个格，由为格诱导的代数系统为，则具有的性质有：

交换律：
a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。
结合律：
a ∨（b∨c）=（a∨b）∨ c，
a ∧（b∧c）=（a∧b）∧ c。
吸收律：
a ∨（a∧b）= a，
a ∧（a∨b）= a。
幂定律：
a∨a = a
a∧a = a

定理：
设为一个代数系统，其中∨和∧都是二元运算且满足交换性、结合性、吸收性，则A上存在偏序关系≤，使得是一个格。
（满足吸收律可推出它们一定满足幂等律。）

∨和∧不一定满足分配律，但是一定有分配不等式：
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
(a∧b)∨(a∧c)≤a∧(b∨c)

格的对偶原则：
可以参考之前对对偶规则的定义，对偶后用≥代替≤。

特殊的格

设为格是一个格，由为格诱导的代数系统为

分配格
若代数系统满足分配律，则为分配格，
链一定是分配格
有界格
格有全上界和全下界。

有补格
每个元素都有补元

补元：
在有界格中，对于一个元素a,如果有b∈A,使得a∨b = 1，a∧b = 0，（1是格的上确界，0是格的下确界）
则b是a的补元
一个元素可以存在多个补元，也可以没有补元。

布尔格
有补分配格

布尔代数

一个有补分配格称为布尔格，由布尔格诱导的代数系统称为布尔代数。

具有有限个元素的布尔代数叫做有限布尔代数

设是一个具有全下界0的有限格，则对于任何一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a小于等于b。

若a₁,a₂ ······a_n是A中满足a_i≤b的所有原子，则：
b = (a₁)∨(a₂)∨ ······ ∨(a _n)

图论

基本概念和性质

定义：
一个图是一个三元组
其中V(G)是一个非空的结点集合，
E(G)是边集合
∮是E到结点序偶的函数

一个结点的度数，用dut(V)表示

仅由孤立结点组成的图称为零点，仅由一个孤立结点构成的图称为平凡图。

定理：

1. 每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍
   ∑_v∈Vdeg(V) = 2 | E |
2. 在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个，
3. 含有平行边的图称为多重图
4. 不含由平行边和自环的图称为简单图。

由n个结点的无向完全图记作K_n
n个结点的无向完全图K_n的边数为 n/2 * (n-1)

在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一条路径是图中的边的序列,其中每一条边的终点是下一条边的起点。

路径与回路

—条路径中,如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径。
—条路径中，如果同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。
如果路径的始点v_o和终点v_n相重合,即v_o=v_n ,则此路径称为回路。
没有相同边的回路称为简单回路,通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路。
路径P中所含边的条数称为路径P的长度。

在无向图G中，若结点u和结点v之间存在一条路，则称u和v是连通的。

结点之间的连通性是结点集上的等价关系，因此对应这个等价关系，我们可以对这个图G做出一个划分，把V分成非空子集V₁，V₂,V₃,······V_m，使得两个结点v_k和v_j是连通的当且仅当它们同属一个V_i。我们把子图G(V₁),G(V₂),······G(V_m)称作G的连通分支，把G的连通分支数目记作W（G）

若图G只有一个连通分支，则G是连通图

（如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图是连通图，否则称G是非连通图。）

子图
如果V(H)⊆V(G)且E(H)⊆E(G),则称H是G的子图，记作H⊆G。
生成子图
若H是G的子图且V(H)=V(G)，则称H是G的生成子图

最大度和最小度
Δ(G)为G的最大度
δ(G)为G的最小度

割点
设无向图G=为连通图，若有点集V₁ 是V的子集，使得G中删除了V₁的所有结点以后，所得的图不是连通图，二删除除了V₁的任何真子集后，所得到的图仍是连通图，则称V₁为点割集，
若一个点构成点割集，则称这个点为割点。

连通度

k(G) = min{| V₁ | | V₁ 是G的点割集}
作为图G的点连通度（连通度）。

连通度数值上等于点割集元素个数，
表示为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目。

完全图中 K_p 中，
k(K_p) = p-1
且删去p-1个结点后会产生一个平凡图。

与点割集定义类似，我们定义边割集和割边（也称桥）

设无向图G=为连通图，若边集E₁ 是E的子集，使得G中删除了E₁的所有边以后，所得的图不是连通图，二删除除了E₁的任何真子集后，所得到的图仍是连通图，则称V₁为边割集，
若一条边构成边割集，则称这个边为割边（或桥）。

同样与点连通度相似，我们定义边连通度：

λ(G) = min{| E₁ | | E₁ 是G的边割集}

边连通度数值上等于边割集元素个数，
表示为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目。
对平凡图可以定义λ(G) = 0，此外一个不连通图也有λ(G) = 0。

对于任何一个图，都有：

k(G) < λ(G) < δ(G)

一个连通无向图G中，结点v是割点的充要条件是：

存在两个结点u和w，使得u和w的每一条路都通过v。

弱连通性和强连通性：
一个有向图D=(V,E)，将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图.
如果一个有向图的基图是连通图，则有向图D是弱连通的，否则称D为非连通的.
若D中任意两点u,v都有从u可达v，或从v可达u,则称D是单向连通的;
若D中每点u均可达其他任一点v,则称D是强连通的。

一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个结点一次。

在简单有向图中，具有强连通性的最大图，称为强分图。
具有单侧连通性的最大子图，称为单侧分图。
具有弱连通性的最大子图，称为弱分图。

图的矩阵表示
邻接矩阵

当v_i ,adj v_j 时，a _i*j = 1
当v_i nadj v_j 时或 i==j 时，a _i*j = 0
adj表示联结，nadj表示不联结

对于无向图，邻接矩阵是对称的。
定理：

设A(G)是图G的邻接矩阵，则(A(G))^l中的i行，j列元素a^l_i*j 等于G中联结v_i和v_j的长度为l的路的数目

可达性矩阵

当v_i 至少存在一条路到达 v_j 时，a _i*j = 1
当v_i 不存在一条路到达 v_j 时或 i==j 时，a _i*j = 0

完全关联矩阵和关联矩阵

关联矩阵M(G)是由 G的结点 和G的边集构成的

当v_i 关联 e_j 时，a _i*j = 1
当v_i 不关联 e_j 时，a _i*j = 0

从关联矩阵中可以得到：

1. 图中每一边关联两个结点，故M(G)的每一列只有两个1.
2. 每一行元素的和数是对应结点的度数。
3. 一行中元素全为0，其对应的结点为孤立节点。
4. 两个平行边其对应的两列相同。
5. 同一个图当结点或边的编序不同时，其对应的M(G)仅有行序和列序的不同。

完全关联矩阵
关联矩阵M(G)是由 G的结点 和G的边集构成的

当v_i 是 e_j起点 时，a _i*j = 1
当v_i 是 e_j终点 时，a _i*j = -1
当v_i 不关联 e_j 时，a _i*j = 0

如果一个连通图G有 r 个结点，则其完全关联矩阵M(G)的秩为r-1 ，即 rank M(G) = r-1。

特殊的图

欧拉图

可见 哥尼斯堡七桥问题

给定无孤立节点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉路。
若存在一条回路，经过图中每条边一次且仅一次，则称为回路为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称作欧拉路。

无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且由零个或两个奇数度结点。

对于有向图：

1. 给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路(回路)，称作单向欧拉路(回路)。

2. 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。
   一个有向图G具有单向欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。

汉密尔顿图

给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔顿路。
若存在一条回路，经过图中的每个结点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。

具有汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。

若图G＝具有汉密尔顿回路，则对于结点集v的每个非空子集S均有 W(G-S)≤|S| 成立。
其中W(G-S)是G-S中连通分支数。

汉密尔顿图的判定

虽然汉密尔顿回路问题与欧拉回路问题在形式上极为相似，但对图G是否存在汉密尔顿回路还无充要的判别准则。下面我们给出一个无向图具有汉密尔顿路的充分条件。

1. 若G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则G中存在一条汉密尔顿路。
2. 若G中每一对结点度数之和大于等于n，则G中催在一条汉密尔顿回路。

闭包
给定G={V,E}，有n个结点，若将G中度数之和至少为n的非邻接结点点连接起来得到G‘，重复这一步骤，则得到了G的闭包，记作C(G)

平面图

平面图的定义
在一个平面画出一个图，如果图的每条边都互不相交，则称这个图为平面图。

边
连通平面图G，由图中的边所包围的区域，在区域内既无节点，也无边，这样的区域叫做面。

一个平面图，面的次数之和等于其边数的2倍

欧拉公式

设一个连通的平面图，v个结点，e个边和r个面，则满足：

v-e+r = 2

性质及定理

1. 设G是连通简单平面图： 则满足：
   e ≤ 3v - 6

2. 给定两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入或出去度数为2的结点后，使得G1和G2同构，则称两图在2度结点内同构。

3. 库拉图斯基定理:
   一个图是平面图，当且仅当它不包含与K_3.3或K₅ 同构的子图
   （也就是说，如果 K3,3 或 K5 可以通过不断细分变成这副图，则这幅图是非平面图。）

对偶图与着色

本处图片及叙述摘自：
https://blog.csdn.net/qq_37868325/article/details/83867178

对于每一个平面图， 都有与其相对应的对偶图. 我们假设上面的例图是图G， 与其对应的对偶图G*， 那么对于G来说， G上面的每一个点， 对应的是G里面的每一个面. 比如说下面就是G*.

上面的点就是对偶图G里的点.
那么关于对偶图G里的边呢 ? 对于G中本来的每条边e， 他是两个面(比如说面f1和f2)的交边， 那么在对偶图里， 我们对这两个面(f1， f2)所映射在G里的点连线(f1* 连向f2*). 如果f1 == f2(比如说G中5， 6这条边， 边的两侧都是同一个面， 那我们就建一条回边.
图就长这样(回边在5， 6那里).

自对偶图
如果图G的对偶图G‘同构于G，则称图G是自对偶图。

性质及定理：

1. 对于n个结点的完全图K_n ，有x(K_n) = n;
2. 设G为一个至少具有三个结点的连通平面图，则G中必定有一个节点u，使得
   deg(u) ≤ 5
3. 任意平面图G最多是5-色的
4. 若G是自对偶的，则e = 2v-2 （教材P321课后题）

树与生成树

定义
一个连通且无回路的无向图称为树。
书中度数为1的结点称为树叶。
度数大于1 的结点称为分结点或者内点。
一个无回路的无向图称为森林，它的每个连通分支是树。

定理及性质

1. 给定图T，以下关于树的定义是等价的：

1. 无回路的连通图
2. 无回路且e = v-1，其中e为边数，v为结点数。
3. 连通且e = v-1
4. 无回路，但增加一条新边，得到一个且仅有一个回路
5. 连通，但山区任一条边后不连通
6. 每一对结点之间有一条且仅有一条路

2. 任一棵树中至少有两片树叶
3. 若图G的生成子图是一棵树，则称该树为G的生成树。

设G有一条生成树T，则T的边称作树枝
图G的不在生成树中的边称作弦
所有弦的集合称作生成树T的补

4. 连通图至少有一棵生成树
5. 一条回路和任何一棵生成树的补至少有一条公共边
6. 一个边割集和任何生成树的补至少有一条公共边。
7. 在图G的所有生成树中，树权最小的那棵生成树，称作最小生成树。
   （求最小生成树的两种算法可见 数据结构笔记中的算法：数据结构笔记）

根树

定义

1. 如果一个有向图在不考虑边的方向是是一棵树，那么，这个有向图称为有向树。

2. 一棵有向树，如果恰有一个结点的入度为0 ，其余所有结点的入度都为1，则称为根树。
   入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶，出度不为0的结点叫做分枝点或者内点。

3. 根树包含一个或多个结点，这些节点中摸一个称为根，其他所有结点都被分成有限个子根树。

4. 在根树中，若每一个结点的出度小于或等于m，则称这个树为m叉树。

5. 如果每一个结点的出度恰好等于m或0，则称这棵树为完全m叉树，若其所有树叶层次相同，成为正则m叉树。当m=2时，称为二叉树。

6. 在根树中，一个结点的通路长度就是从树根到此结点的通路中的边数。我们把分枝点的通路长度称为内部通路长度。树叶的通路长度叫做外部通路长度。

性质及定理

1. 设有完全m叉树，其树叶数为t，分枝点数为i，则：

(m-1) i = t-1

2. 若完全二叉树中有n个分枝点，且内部通路长度的总和为 I ，外部通路长度的总和为 E ，则：

E = I +2n

3. 在带权二叉树中，若带权为w_i的树叶，其通路长度为L(w_i)，，我们把w(T) = ∑_i=1^t w_iL(w_i) 称为该带权二叉树的权。
   在所有带权的w₁,w₂,······w_i的二叉树中，w(T)最小的那棵树称为最优树
4. 设T为带权w₁≤ w₂,≤···≤w_i的最优树，则

1. 带权w₁,w₂的树叶v_w1，v_w2是兄弟。
2. 以树叶v_w1，v_w2为儿子的分枝点，其通路长度最长。

5. 设T为带权w₁≤ w₂,≤···≤w_i的最优树，若将以带权w₁和w₂的树叶为儿子的分枝点改为带权w₁+w₂的树叶，得到一棵新树T‘，则T’也是最优树。

前缀码问题
（哈夫曼编码，可见数据结构笔记哈夫曼编码部分数据结构笔记）