通过Python实现蒙特卡洛算法

1.蒙特卡洛方法

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，是通过使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

蒙特卡罗算法的基本步骤
蒙特卡罗算法一般分为三个步骤，包括构造随机的概率的过程，从构造随机概率分布中抽样，求解估计量。

2.案例引入：π的计算

正方形内部有一个相切的圆，假设圆形的半径为r，那么正方形的边长则为2r，因此，圆形和正方形的面积之比为：
                                   
在正方形内部，随机产生一系列的点，计算他们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部，从而：   

                                    

3.计算 

蒙特卡洛算法求解积分问题
对被积分函数的变量在某一区间内进行随机均匀抽样，然后对抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。此种方法的理论基础是概率论的中心极限定理，其不随积分维数的改变而改变。  

实例：

 思路分析：

（1）被积分函数表示的几何意义即函数在积分区域上的面积，带入x=0&x=1，可知函数的大致范围图像，根据被积分函数的图像可知：其图像面积小于1（可以看作在被积函数在面积为1的正方形内）

（2）构造随机的概率，设有足够多的随机点，即随机点将落在面积为1的正方形里（总点数）和被积函数的图像里（有随机性）

（3）求出估计量

代码

import numpy as np
import random
m = 100000
n = 0
#定义函数
def func(x):
    return np.log(1+x)/(1+x**2)

for i in range(m): #产生随机点
    x = random.random() 

    y = random.random()
    
    if func(x)>y:#保证在积分区域内
        n = n+1 
ans = n/m #比值即为面积
print(ans)

代码运行结果