拉格朗日中值定理

目录

一、定理描述

二、拉格朗日中值定理及几何意义

1.拉格朗日中值定理：

2.几何意义：

3.需要注意的地方（逆命题不成立）

三、应用举例

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拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开），在机器学习支持向量机等算法模型中有使用此定理。

一、定理描述

如果函数x满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)上可导；

在开区间(a,b)内至少有一点(a<成立。

其他形式

记，令，，则有，

，此式为有限增量公式。

我们知道函数的微分是函数的增量的近似表达式，一般情况下只有当很小的时候，和之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量取得有限增量（不一定很小）时，函数增量的准确表达式，这就是改公式的价值所在。

二、拉格朗日中值定理及几何意义

1.拉格朗日中值定理：

若函数在(a,b)可导，则在(a,b)至少存在一点c，使

2.几何意义：

函数在[a,b]上的图形是连续光滑曲线，弧AB上至少有一点P，曲线P点的切线平行于弦AB，如图

证明：令则在[a,b]连续，在(a,b)可导，且，根据罗尔定理在(a,b)内至少存在一点c，使

3.需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线，并不一定存在割线，使割线斜率等于切线斜率，如在处的斜线斜率为0，但不存在割线使割线斜率等于0。

注：割线、切线、切割线三者都是针对圆而言的：
1、割线：就是圆外一点引出一条直线与圆有两个交点的线,叫割线；
2、切线：就是圆外一点引出一条直线与圆有一个交点的线,叫切线；
3、切割线：是从同一点出发,引出一条割线和一条切线。

三、应用举例

已知函数在(1,2)内任意取两个实数p,q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为？

解法一：常规解法

令

因为，所以 

不妨设

令 

则有 

因为

所以在内单调递减

需证明当时，恒成立

解法二：拉格朗日中值定理

只需证明当时，恒成立