高数基础_第1节_概述以及预备知识

概述和集合的定义

Intro

• 参考资料：数学分析中的典型问题与方法（第二版）裴礼文 编著 高等教育出版社
• 演示软件：
  • WolframAlpha
  • MATLAB
  • Python

Outline

• 第一课：集合、实数集、函数、初等函数
• 第二课：序列极限、无穷小量、无穷大量
• 第三课：函数极限、连续函数
• 第四课：导数、微分
• 第五课：微分中值定理
• 第六课：泰勒公式、函数凹凸性
• 第七课：一元积分、微积分基本定理
• 第八课：多元函数、多元函数极限、微分、复合函数和隐函数的微分、方向导数、梯度
• 第九课：多元函数中值定理、泰勒公式、隐函数存在定理、函数极值

逼疯康托的实数集理论

邻域：

$$\begin{gathered} \text{邻域：}U(a,ϵ)=\{x:a-ϵ<x<a+ϵ\} \\ \text{空心邻域：}{U}_0(a,ϵ)=\{x:a-ϵ<x<a+ϵ\text{, and}x\ne a\} \end{gathered}$$

稠密（density）

有理数和无理数都是dense的。无论取的区间多小，这个区间和有理数之间的交集都不是空集：

• $\forall (a,b)\cap \mathbb{Q}\ne \varnothing$。

实数集

• 基数（cardinality）：集合中元素的个数成为集合的基数（又称为势），记为|A|。
• 等势：集合A到集合B存在双射（bijection），称A与B等势，记为$A\approx B$。特别的，称与自然数集$\mathbb{N}$等势的集合为可列集。
  • $\mathbb{Z}\approx \mathbb{N}$
  • $\mathbb{N}\approx \mathbb{Q}$ 画回字
  • $(0,1)\approx \mathbb{R}$
  • （康托定理）$(0,1)\approx [0,1]$
  • （康托定理）$\mathbb{N}\ne [0,1]$
  • （康托定理）$\mathbb{N}\ne \mathbb{R}$

界

• 上界：upper bound
• 下界：lower bound
• 上确界：the smallest upper bound。设$E\subseteq \mathbb{R}$是一个非空数集，如果$M\in \mathbb{R}$
  • M是E的一个upper bound
  • 对$\forall ϵ>0$，存在$x^{\prime }>M-ϵ$，则称M为E的上确界，记为 $M=supE$
• 下确界：the biggest lower bound， $M=infE$
• 确界存在定理：非空有上界的实数集必然有上确界，非空有下界的实数集必然有下确界。

常用不等式与映射

常用不等式

• 三角不等式：

  $|x+y|\le |x|+|y|$

• 伯努利（Bernoulli）不等式：
  对于任意的$x\ge -1$和任意的正整数n，有

  $(1+x{)}^n\ge 1+nx$

• 算数-几何平均不等式：对于任意n个非负实数$x_1,x_2,...,x_n$有

  $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt{x_1{x}_2...x_n}$
  算数平均值 $\ge$ 几何平均值
  唯一二者相等的条件是$x_1=x_2=...=x_n$

映射

• 单射（injective）：一一对应
• 满射（surjective）：codomain中的元素都被domain中的元素覆盖到。
• 双射（bijective）

函数及特殊函数

三角函数：六边形法则

• 倒三角关系：三个倒三角形中上面两个的平方等于下面那个的平方 $si{n}^2+co{s}^2=1$
• 对角线关系：两端相乘等于中间 $sin\ast csc=1$
• 顺时针旋转关系：看到一个数，他等于它的下一位除以下下一位 $tan=\frac{sin}{cos}$

函数的运算

• 如果函数是bijection，那么函数可逆。

几个特殊函数

• 分段符号函数
• 高斯（Gauss）取整函数：$y=[x]$
• 狄利克雷（Dirichlet）函数：很多情况拿来构造反例
  
• 黎曼（Riemann）函数：
  

函数的性质

• 有界性
• 单调性（monotone）
• 周期性：存在$T>0$，使得对于 $\forall x\in X$，有$f(x+T)=f(x)$，称$f(x)$是以$T$为周期的周期函数。
• 奇偶性：奇函数的反函数也是奇函数（该函数时可逆函数）