朴素贝叶斯详细推导理解

1. 公式推导

1.1 先验后验

• 先验概率：事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计，可以由背景常识得出，也可以是人的主观观点给出。
• 后验概率：事件发生后求的反向条件概率；或者说，基于先验概率求得的条件概率。

1.2 条件概率公式

设有事件 $A,B$ ，将已知 $B$ 条件下求 $A$ 的概率记作 $P(A|B)$ ，将 $A,B$ 两件事共同发生记作联合分布 $P(A,B)$，所有有下列条件概率公式：$$\begin{array}{r}P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}\end{array}$$也即 $$\begin{array}{r}P(A,B)=P(B)P(A|B)\end{array}$$又因为假设条件独立性，故 $P(A,B)=P(B,A)$，所以带入上述公式可得$$\begin{array}{rl}P(A|B)& =\frac{P(B,A)}{P(B)}\\ & \\ & =\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}\end{array}$$这就是贝叶斯公式。

1.3 独立性假设

朴素贝叶斯假设条件概率是条件独立的，设 $X,x$ 都是 $n$ 维的向量，$X$ 是定义在空间的随机向量，$x$ 是输入， $Y$ 是类标记，有 $Y\in \{c_1,c_2,\cdots ,c_n\}$，独立性可用下述公式来进行表达：$$\begin{array}{rl}P(X=x|Y=c_k)& =P(X^{(1)}=x^{(1)},X^{(2)}=x^{(2)},\cdots ,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)\\ & =\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)\end{array}$$其中的 $X^{(i)}=x^{(i)}$ 表示 $X,x$ 的第 $i$ 个维度相等。

1.3 朴素贝叶斯推导

由贝叶斯公式和条件概率公式有$$\begin{array}{rl}P(Y=c_k|X=x)& =\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{P(X=x)}\\ & \\ & =\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{{\sum }_{h}P(X=x,Y=c_h)}\\ & \\ & =\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{{\sum }_{h}P(X=x|Y=c_h)P(Y=c_h)}\end{array}$$将式 $(4)$ 带入式 $(5)$可得到 $$\begin{array}{rl}P(Y=c_k|X=x)& =\frac{P(Y=c_k){\prod }_{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{{\sum }_{h}P(Y=c_h){\prod }_{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_h)}\end{array}$$ 这就是朴素贝叶斯的基本公式，所以其分类器可以表示为寻找一个最大的 $c_k$，即$$\begin{array}{r}y=f(x)=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}\frac{P(Y=c_k){\prod }_{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{{\sum }_{h}P(Y=c_h){\prod }_{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_h)}\end{array}$$由于对于一个给定的训练集， 式 $(7)$ 的分母是不变的，故只需要使得分子最大即可，即$$\begin{array}{r}y=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)\end{array}$$

2. 朴素贝叶斯参数估计

2.1 极大似然估计

在贝叶斯中，学习就意味着对 $P(Y=c_k)$ 和 $P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$ 进行估计和最大化。很自然的能够想到极大似然估计。

首先对 $P(Y=c_k)$ ，其极大似然如下：$$\begin{array}{r}P(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N}\end{array}$$即为数据中标签分类预测正确的数目百分比。

再对 $P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$ 进行极大似然估计，设第 $j$ 个特征 $x^{(j)}$ 的取值集合为 $\{a_{j1},a_{j2},\cdots ,a_{jn}\}$ ，所以其极大似然估计如下 $$\begin{array}{r}P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}\end{array}$$具体例子在这里截取李航老师的《统计学习方法》来做理解：

2.2 贝叶斯估计

使用极大似然估计时，可能出现所要求的概率为 $0$ 的情况，该情况下就会十分影响其他概率的估计，故可以采用贝叶斯估计法。贝叶斯估计法描述如下：$$\begin{array}{r}{P}_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+S_j\lambda }\end{array}$$当式中的 $\lambda =0$ 时，即是极大似然估计，当式中的 $\lambda =1$ 时，称之为拉普拉斯平滑。

同样的，先验概率 $P_{\lambda }(Y=c_k)$ 的表达如下：$$\begin{array}{r}{P}_{\lambda }(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+\lambda }{N+K\lambda }\end{array}$$具体例子在这里截取李航老师的《统计学习方法》来做理解：