多目标决策之熵权法

1 简介

指标权重的选择，直接影响评价指标体系的公正性及预测的准确性，因此指标权重的确定更需要讲究客观性。熵值权重法是一种客观确定权重的方法。

熵权法根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，再通过熵权对各指标的权重进行修正，从而得到较为客观的指标权重。

在信息系统中的信息熵是信息无序度的度量，信息熵越大，信息的无序度越高，其信息的效用值越小；
反之，信息熵越小，信息的无序度越小，信息的效用值越大。因此可以运用信息熵评价所获系统信息的有序程度及信息的效用值。

在评价体系中，指标的信息熵越大，则其信息的效用值越小，因此赋予该指标较小的指标权重；
指标的信息熵越小，则其信息的效用值越大，因此赋予该指标较大的指标权重。

1 计算步骤

1.1 将各指标数据进行$min-max$标准化

• 正向指标：指标值越大，则评价就越好，也称为越大越优型指标
• 负向指标：指标值越大，则评价就越差，也称为越小越优型指标
• 举例：场均得分----越大越好----正向指标， 场均失误----越小越好----负向指标。
• 某点最优型指标，一般不会谈到

正向指标	$\frac{x_i-\min \left\{x_i\right\}}{\max \left\{x_i\right\}-\min \left\{x_i\right\}}(i=1,2,...n)$
负向指标	$\frac{\max \left\{x_i\right\}-x_i}{\max \left\{x_i\right\}-\min \left\{x_i\right\}}(i=1,2,...n)$

min-max标准化也称离差标准化，本质上是对原始数据的一种线性变换，函数如下：
$$y_i=\frac{x_i-\min \left\{x_i\right\}}{\max \left\{x_i\right\}-\min \left\{x_i\right\}}(i=1,2,...n)$$
其中，$x_i$为原始序列，$y_i$为标准化后的序列，标准化后的新序列均落在[0,1]区间上，从而起到消除量级和量纲的作用。

import numpy as np
import pandas as pd
df=pd.read_excel('data_py.xlsx',sheet_name='广州',encoding='utf-8')
df.drop(columns="时间",axis=1,inplace=True)
df.set_index([[2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018]],inplace=True)
print(df.shape)
print(df.head(5))

#下面是标准化
#正指标 (x-min)/(max-min)
#负指标 (max-x)/(max-min)
for i in list(df.columns):
   # 获取各个指标的最大值和最小值
    Max = np.max(df[i])
    Min = np.min(df[i])
    if (i == '二氧化硫年平均浓度') or (i == '二氧化氮年平均浓度'):
         df[i] = (Max - df[i])/(Max - Min)
    else:
         # 标准化
        df[i] = (df[i] - Min)/(Max - Min)

1.2 计算第 $j$ 项指标在第 $i$ 年度时的指标值所占比重$p_{ij}$：

$$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}},0\le p_{ij}\le 1$$

并由此得到一个由各指标在不同年度下所占比重组成的标准化矩阵：
$$Y={\left\{p_{ij}\right\}}_{m\times n}$$

1.3 计算第项指标的嫡值$H_j$：

$$H_j=-K\sum _{j=1}^m\left(p_{ij}\ln p_{ij}\right),0⩽H_j⩽1$$
其中，常数$K$与评价体系中的考察年度数$m$有关。对于一个信息完全无序的系统，其有序度为零，则熵值达到最大。此时$H_j=1$，且$m$个考察年度处于完全无序状态，则
$$p_{ij}=\frac{1}{m}$$
$$H_j=-K\sum _{i=1}^m\left(\frac{1}{m}\ln \frac{1}{m}\right)=K\sum _{i=1}^m\left(\frac{1}{m}\ln m\right)=K\ln m=1$$
则$$K=\frac{1}{\ln m}$$
则此时第$j$项指标的熵值$H_j$，可表示为：
$$H_j=-\frac{1}{\ln m}\sum _{i=1}^m\left(p_{ij}\ln p_{ij}\right),0\le H_j\le 1$$

1.4 计算第j项指标的差异系数$g_j$：

由于信息熵$H_j$用来度量$j$项指标的信息（指标的数据）的效用价值，当完全无序时，$H_j=1$，此时，$H_j$的信息（也就是指标的数据）对综合评价的效用值为零。因此，某项指标的信息效用价值取决于该指标的信息熵$H_j$与1的差值$g_j$：
$$g_j=1-H_j$$

计算指标比重、熵值及差异系数： 代码及注意事项

注意：
在标准化过程中，若当前指标值是正指标且是最小值、或负撞标且是最大值时，则根据标准化公式会算出指标值所占比重 $pij=0$。而当下一步计算熵值 $H_j$ 时，需要对 $pij$ 取对数 $ln$，而若此时 $pij=0$，则得出的值就会是无穷大∞，在程序中体现就是nan值，因此，在此处计算指标值所占比重$pij$ 时，若遇到计算结果等于0的情况，则将值稍微调大一点，调整为$1\times 10^{-6}$

#下面求指标比重
def bizhong(df_bizhong):
    for column in df_bizhong.columns:
        sigma_xij = sum(df_bizhong[column])
        df_bizhong[column] = df_bizhong[column].apply(lambda x_ij: x_ij / sigma_xij if x_ij / sigma_xij != 0 else 1e-6)

    return df_bizhong
df_bizhong=bizhong(df)

#下面求熵值Hi
#先算K值
k=1/ np.log(9)           #考察年度为九年
# print(k)
h_j  = (-k) * np.array([sum([pij*np.log(pij) for pij in df_bizhong[column]]) for column in df_bizhong.columns])
h_js = pd.Series(h_j, index=df_bizhong.columns, name='指标的熵值')

#下面求差异系数
df_bianyi=pd.Series(1-h_j, index=df_bizhong.columns, name='差异系数')

1.5 计算第$j$项指标的权重${\omega }_j$：

由上式可以看出，利用熵值法估算各指标的权重，其本质是利用该指标信息的价值系数来计算的，其价值系数越高，对评价的重要性就越大（或称对评价结果的贡献越大），因此第$j$项指标的权重可表示为：
$${\omega }_j=\frac{g_j}{{\sum }_{j=1}^n{g}_j}$$

#下面计算指标权重
df_Weight = df_bianyi / sum(df_bianyi)
df_Weight.name = '指标权重'

1.6 计算综合得分并评价

这里用到的数据应该给是正向化、标准化后的无量纲数据，去乘以权重；

思考：不然的话，原始数据的维度（量级）会对最后的得分情况有影响！

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ref1：知乎 --> data_py数据文件
ref2：代码实战1
ref3：有B站视频
ref4：仅原理讲述
ref5：对应ref4的matlab代码
ref6：综合评价之熵值法+TOPSIS