分布滞后与自回归模型 ADL

分布滞后与自回归模型

1 滞后效应与滞后变量模型

1.1 什么是滞后效应

解释变量对被解释变量的影响可能存在持续性或滞后性，也就是说解释变量需要通过一段时间才能完全作用于被解释变量。由于经济活动的惯性，经济变量变化态势往往会延续到本期，形成被解释变量的当期变化同自身过去取值水平相关的情形。

---

1.2 滞后效应产生的原因

• 心理预期因素
• 技术因素
• 制度因素

---

1.3 滞后变量模型

滞后变量是指过去时期的、对当前被解释变量产生影响的变量。滞后变量可分为滞后解释变量与滞后被解释变量两类。把滞后变量引入回归模型，这种回归模型称为滞后变量模型。滞后变量模型的一般形式为
$$\begin{array}{c}{Y}_t=\alpha +{\beta }_0{X}_t+{\beta }_1{X}_{t-1}+{\beta }_2{X}_{t-2}+\cdots +{\beta }_s{X}_{t-s}\\ +{\gamma }_1{Y}_{t-1}+{\gamma }_2{Y}_{t-2}+\cdots +{\gamma }_q{Y}_{t-q}+u_t\end{array}$$
其中s、q 分别为滞后解释变量和滞后被解释变量的滞后期长度。根据滞后长度是否有划分为有限滞后变量模型和无限滞后变量模型。

1.31 分布滞后模型

滞后变量模型仅有滞后解释变量而无滞后被解释变量模型，即
$$Y_t=\alpha +{\beta }_0{X}_t+{\beta }_1{X}_{t-1}+{\beta }_2{X}_{t-2}+\cdots +{\beta }_s{X}_{t-s}+u_t$$
其中${\beta }_0$称为短期效应或短期乘数，表示本期$X$变动一个单位对$Y$的影响；${\beta }_i(i=1,2\dots )$为延迟乘数或动态乘数，表示过去各期X 变动一个单位对$Y$值的影响大小。${\sum }_i^s{\beta }_i$称为长期乘数或总分布乘数。

1.32 自回归模型

滞后变量模型仅有滞后被解释变量与本期解释变量$X_t$模型(可以不含$X$)，即
$$Y_t=\alpha +{\beta }_0{X}_t+{\gamma }_1{Y}_{t-1}+{\gamma }_2{Y}_{t-2}+\cdots +{\gamma }_q{Y}_{t-q}+u_t$$
称为自回归模型，其中$q$为自回归阶数。

---

2 分布滞后模型的估计

2.1 分布滞后模型估计的问题

• 自由度问题：随着滞后阶数增加，需要估计的参数增多，样本容量一定时，自由度下降
• 多重共线性问题：滞后变量之间一般存在高度相关
• 滞后长度难以确定

2.2 经验加权估计法

对解释变量的系数赋予一定权数，利用这些权数构成各滞后变量的线性组合，以形成新的变量再应用最小二乘法进行估计。权数分布的确定取决于模型滞后结构的不同类型，常见的滞后结构类型有：

• 递减滞后结构：随着滞后阶数增加，权重递减
• 不变滞后结构：随着滞后阶数增加，权重不变
• $\Lambda$型滞后结构：随着滞后阶数增加，权重先增后减

评价
经验加权法具有简单易行、不损失自由度、避免多重共线性干扰及参数估计具有一致性等特点。但权数的主观随意性较大。

---

2.3 阿尔蒙法

为消除多重共线性的影响，阿尔蒙（Almon）提出利用多项式来逼近滞后参数的变化结构，从而减少待估参数的数目。在有限分布滞后模型滞后长度$s$已知的情况下，滞后项系数可以看成是相应滞后期$i$的函数。在以滞后期$i$为横轴、滞后系数取值为纵轴的坐标系中，如果这些滞后系数落在一条光滑曲线上，或近似落在一条光滑曲线上，则可以由一个关于$i$的次数较低的$m$次多项式很好地逼近，即
$${\beta }_i={\alpha }_0+{\alpha }_{1}i+{\alpha }_2{i}^2+\cdots +{\alpha }_m{i}^{m}i=0,1,2,\cdots ,s;m<s$$
此式称为阿尔蒙多项式变换。具体地，
$$\begin{array}{cl}i=0& {\beta }_0={\alpha }_0+{\alpha }_{1}0+{\alpha }_2{0}^2+\cdots +{\alpha }_m{0}^m\\ i=1& {\beta }_1={\alpha }_0+{\alpha }_{1}1+{\alpha }_2{1}^2+\cdots +{\alpha }_m{1}^m\\ i=2& {\beta }_2={\alpha }_0+{\alpha }_{1}2+{\alpha }_2{2}^2+\cdots +{\alpha }_m{2}^m\\ & \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ i=s& {\beta }_s={\alpha }_0+{\alpha }_{1}s+{\alpha }_2{S}^2+\cdots +{\alpha }_m{s}^m\end{array}$$
代入模型$Y_t=\alpha +{\beta }_0{X}_t+{\beta }_1{X}_{t-1}+{\beta }_2{X}_{t-2}+\cdots +{\beta }_s{X}_{t-s}+u_t$并整理
$$\begin{array}{rl}{Y}_t=\alpha & +{\alpha }_0\left(X_t+X_{t-1}+X_{t-2}+\cdots +X_{t-s}\right)\\ & +{\alpha }_1\left(X_{t-1}+2X_{t-2}+3X_{t-3}\cdots +s{X}_{t-s}\right)\\ & +{\alpha }_2\left(X_{t-1}+2^2{X}_{t-2}+3^2{X}_{t-3}\cdots +s^2{X}_{t-s}\right)\\ & ⋮\\ & +{\alpha }_m\left(X_{t-1}+2^m{X}_{t-2}+3^m{X}_{t-3}\cdots +s^m{X}_{t-s}\right)\\ & +u_t\end{array}$$
即
$$Y_t=\alpha +{\alpha }_0{Z}_{0t}+{\alpha }_1{Z}_{1t}+{\alpha }_2{Z}_{2t}+\cdots +{\alpha }_m{Z}_{mt}+u_t\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中
$$\begin{array}{l}{Z}_{0t}=X_t+X_{t-1}+X_{t-2}+\cdots +X_{t-s}\\ Z_{1t}=X_{t-1}+2X_{t-2}+3X_{t-3}\cdots +s{X}_{t-s}\\ Z_{2t}=X_{t-1}+2^2{X}_{t-2}+3^2{X}_{t-3}\cdots +s^2{X}_{t-s}\\ ⋮\\ Z_{mt}=X_{t-1}+2^m{X}_{t-2}+3^m{X}_{t-3}\cdots +s^m{X}_{t-s}\end{array}$$
为滞后变量的线性组合变量。若(1)式扰动项${\mu }_t$满足经典假设条件，则可以采取OLS估计参数${\alpha }_i(i=0,1,\dots m)$。在实际操作中$m=2,3$很少取到4.

---

3 自回归模型构建

3.1 库伊克（Koyck）模型

对于如下无限分布滞后模型
$$Y_t=\alpha +{\beta }_0{X}_t+{\beta }_1{X}_{t-1}+{\beta }_2{X}_{t-2}+\cdots +u_t\text{\hspace{1em}(2)}$$
可以假定滞后解释变量$X_{t-i}$对被解释变量$Y$的影响随着滞后期$i(i=0,1,2,\dots )$的增加而
按几何级数衰减,即
$${\beta }_i={\beta }_0{\lambda }^i,0<\lambda <1,i=0,1,2,\cdots \text{\hspace{1em}(3)}$$
其中${\beta }_0$为常数，公比$\lambda$为待估参数。$\lambda$值的大小决定了滞后衰减的速度，$\lambda$值越接近零，衰减速度越快，通常称$\lambda$为分布滞后衰减率，称$1-\lambda$为调整速度。将(3)代入(2)得
$$\begin{array}{rl}{Y}_t& =\alpha +{\beta }_0{X}_t+{\beta }_0\lambda X_{t-1}+{\beta }_0{\lambda }^2{X}_{t-2}+\cdots +u_t\\ & =\alpha +{\beta }_0\left(X_t+\lambda X_{t-1}+{\lambda }^2{X}_{t-2}+\cdots \right)+u_t\\ & =\alpha +{\beta }_0\sum _{i=0}^{\infty }{\lambda }^i{X}_{t-i}+u_t\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
将(4)滞后一期，并乘以$\lambda$,$Y_t$减之
$$\begin{array}{rl}{Y}_t-\lambda Y_{t-1}& =\left(\alpha +{\beta }_0\sum _{i=0}^{\infty }{\lambda }^i{X}_{t-i}+u_t\right)-\left(\lambda \alpha +{\beta }_0\sum _{i=1}^{\infty }{\lambda }^i{X}_{t-i}+\lambda u_{t-1}\right)\\ & \\ & =\alpha (1-\lambda )+{\beta }_0{X}_t+\left(u_t-\lambda u_{t-1}\right)\end{array}$$
即
$$Y_t=\alpha (1-\lambda )+{\beta }_0{X}_t+\lambda Y_{t-1}+\left(u_t-\lambda u_{t-1}\right)$$
上述变换过程称为库伊克变换。令${\alpha }^{\ast }=(1-\lambda )\alpha ,{\beta }_0^{\ast }={\beta }_0,{\beta }_1^{\ast }=\lambda ,u_t^{\ast }=u_t-\lambda u_{t-1}$则库伊克模型为
$$Y_t={\alpha }^{\ast }+{\beta }_0^{\ast }{X}_t+{\beta }_1^{\ast }{Y}_{t-1}+u_t^{\ast }$$
这是一个$AR(1)$过程。库伊克（Koyck)模型也存在局限

• 假定无限滞后分布呈几何滞后结构，不具有普适性
• 新模型的随机扰动项 ${\mu }_t^{\ast }$存在一阶自相关，且与解释变量$Y_{t-1}$相关。
• 将随机变量$Y_{t-1}$作为解释变量引入了模型，不一定符合基本假定。
• 库伊克变换是纯粹的数学运算结果，缺乏经济理论依据。

---

3.2 自适应预期模型

将解释变量预期值引入模型建立“期望模型”。例如，包含一个预期解释变量的“期望模型”可以表现为如下形式：
$$Y_t=\alpha +\beta X_t^{\ast }+u_t\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中$Y_t$为被解释变量，$X_t^{\ast }$为解释变量预期值，${\mu }_t$为随机扰动项。自适应预期假定认为，经济活动主体对某经济变量的预期，是通过一种简单的学习过程而行成的，其机理是，经济活动主体会根据自己过去在作预期时所犯错误的程度，来修正他们以后每一时期的预期，即按照过去预测偏差的某一比例对当前期望进行修正，使其适应新的经济环境。用数学式子表示就是
$$X_t^{\ast }=X_{t-1}^{\ast }+\gamma \left(X_t-X_{t-1}^{\ast }\right)\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中参数$\lambda$为调节系数，也称为适应系数。将(6)代入(5)得
$$Y_t=\alpha +\beta \left[\gamma X_t+(1-\gamma )X_{t-1}^{\ast }\right]+u_t$$
通过变形得到
$$Y_t={\alpha }^{\ast }+{\beta }_0^{\ast }{X}_t+{\beta }_1^{\ast }{Y}_{t-1}+u_t^{\ast }$$
其中${\alpha }^{\ast }=\gamma \alpha ,{\beta }_0^{\ast }=\gamma \beta ,{\beta }_1^{\ast }=1-\gamma ,u_t^{\ast }=u_t-(1-\gamma )u_{t-1}$这是一个$AR(1)$过程。

---

3.3 局部调整模型

解释变量的现值影响着被解释变量的预期值，即存在如下关系
$$Y_t^{\ast }=\alpha +\beta X_t+u_t\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，局部调整假设认为，被解释变量的实际变化仅仅是预期变化的一部分，即
$$Y_t-Y_{t-1}=\delta \left(Y_t^{\ast }-Y_{t-1}\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中$\delta$为调整系数，它代表调整速度。$\delta$越接近1，表明调整到预期最佳水平的速度越快。若$\delta =1$，则$Y_t=Y_t^{\ast }$，表明实际变动等于预期变动，调整在当期完全实现。若$\delta =0$，则$Y_t=Y_{t-1}$表明本期值与上期值一样，完全没有调整。一般情况下，$0<\delta <1$。将(8)变型并将（7）代入（8）得
$$Y_t={\alpha }^{\ast }+{\beta }_0^{\ast }{X}_t+{\beta }_1^{\ast }{Y}_{t-1}+u_t^{\ast }$$
其中${\alpha }^{\ast }=\delta \alpha ,{\beta }_0^{\ast }=\delta \beta ,{\beta }_1^{\ast }=1-\delta ,u_t^{\ast }=\delta u_t$

库伊克模型、自适应预期模型与局部调整模型的最终形式，都是一阶自回归形式，这样，对这三类模型的估计就转化为对相应一阶自回归模型的估计。

---

4 自回归模型的估计

4.1 自回归模型的困难

关于随机扰动项

• 库伊克模型：$u_t^{\ast }=u_t-\lambda u_{t-1}$

• 自适应预期模型：$u_t^{\ast }=u_t-(1-\gamma )u_{t-1}$

• 局部调整模型：$u_t^{\ast }=\delta u_t$

假定上述三种原中随机扰动项${\mu }_t$满足古典假定，即$E({\mu }_t)=0$,$Var({\mu }_t)={\sigma }^2$,$Cov({\mu }_t,{\mu }_s)=0(t\ne s)$。对于库伊克模型，存在自相关性与内生性
$$\begin{array}{l}\mathrm{Cov}\left(u_t^{\ast },u_{t-1}^{\ast }\right)=E\left(u_t-\lambda u_{t-1}-E\left(u_t-\lambda u_{t-1}\right)\right)\left(u_{t-1}-\lambda u_{t-2}-E\left(u_{t-1}-\lambda u_{t-2}\right)\right)\\ \\ =E\left(u_t{u}_{t-1}\right)-\lambda E{u}_{t-1}^2-\lambda E\left(u_t{u}_{t-2}\right)+{\lambda }^{2}E\left(u_{t-1}{u}_{t-2}\right)\\ \\ =-\lambda E{u}_{t-1}^2=-\lambda {\sigma }^2\ne 0\end{array}$$
$$\begin{array}{l}\mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_t^{\ast }\right)=\mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_t-\lambda u_{t-1}\right)=\mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_t\right)-\lambda \mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_{t-1}\right)\\ -\lambda \mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_{t-1}\right)\ne 0\end{array}$$

对于自适应预期模型也存在自相关与内生性，即
$$\mathrm{Cov}\left(u_t^{\ast },u_{t-1}^{\ast }\right)\ne 0；\mathrm{Cov}\left(u_t^{\ast },Y_{t-1}\right)\ne 0$$
局部调整模型不存在自相关与内生性
$$\begin{array}{l}\mathrm{Cov}\left(u_t^{\ast },u_{t-1}^{\ast }\right)=E\left(\delta u_t-E\left(\delta u_t\right)\right)\left(\delta u_{t-1}-E\left(\delta u_{t-1}\right)\right)={\delta }^{2}E\left(u_t{u}_{t-1}\right)=0\\ \\ \mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_t^{\ast }\right)=\mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},\delta u_t\right)=\delta \mathrm{Cov}\left(Y_{t-1},u_t\right)=0\end{array}$$
由上述模型可知，自回归模型可能存在内生性与自相关问题。为此可以通过工具变量法解决。

---

4.2工具变量法

工具变量的选择应满足如下条件：

• 与所代替的解释变量高度相关；
• 与随机扰动项不相关；
• 与其它解释变量不相关，以免出现多重共线性。

可以证明，利用工具变量法所得到的参数估计是一致估计。在时间序列中，可用${\hat{Y}}_{t-1}$作为$Y_{t-1}$的工具变量，于是一阶自回归模型可写为
$$Y_t={\alpha }^{\ast }+{\beta }_0^{\ast }{X}_t+{\beta }_1^{\ast }{\hat{Y}}_{t-1}+u_t^{\ast }$$
其中${\hat{Y}}_{t-1}$是${\hat{Y}}_t$的滞后值，${\hat{Y}}_t$如下确定
$${\hat{Y}}_t={\hat{c}}_0+{\hat{c}}_1{X}_{t-1}+{\hat{c}}_2{X}_{t-2}+\cdots +{\hat{c}}_s{X}_{t-s}$$
$s$一般取2，3。

---

4.3 德宾h-检验

若自变量包括被解释变量滞后值，则DW检验不再适用。为此，德宾提出了检验一阶自相关的$h$统计量检验法。h统计量为
$$h=\hat{\rho }\sqrt{\frac{n}{1-n\mathrm{Var}\left({\hat{\beta }}_1^{\ast }\right)}}=\left(1-\frac{d}{2}\right)\sqrt{\frac{n}{1-n\mathrm{Var}\left({\hat{\beta }}_1^{\ast }\right)}}$$
其中，$\hat{\rho }$为随机扰动项一阶自相关系数$\rho$的估计量，d为DW统计量，$n$为样本容量，$Var\left({\hat{\beta }}_1^{\ast }\right)$为滞后被解释变量$Y_{t-1}$的回归系数的估计方差。德宾证明了在$\rho =0$的假定下，$h$统计量的极限分布为标准正态分布。在大样本情况下，可以用$h$统计量值判断随机扰动项是否存在一阶自相关

• 对一阶自回归方程

$$Y_t={\alpha }^{\ast }+{\beta }_0^{\ast }{X}_t+{\beta }_1^{\ast }{Y}_{t-1}+u_t^{\ast }$$

直接进行最小二乘估计，得到 $Var\left({\hat{\beta }}_1^{\ast }\right)$及$d$统计量值。将 $Var\left({\hat{\beta }}_1^{\ast }\right)$，$d$及样本容量$n$代入h 统计量值。给定显著性水平$\alpha$，查标准正态分布表得临界值$h_{\alpha }$。若$|h|>h_{\alpha }$，则拒绝原假设$\rho =0$，反之不拒绝。

---

-END-

参考文献

庞皓. 计量经济学[M].科学出版社