Games101-系列课程笔记-Lecture-11

Games101-系列课程笔记

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本篇博客内容为Games-101系列课程的 Lecture 11 Geometry 2(Curves and Surfaces)内容，有兴趣的小伙伴可前往GAMES101官网下载相关内容。GAMES101官网

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更多显式表示

• 三角形网格(triangle meshes)
• 贝塞尔曲面(Bezier surfaces)
• 细分曲面(subdivision surfaces)
• 非均匀有理B样条(NURBS)
• 点云(point cloud)

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曲线

贝塞尔曲线(Bézier Curves)

简单定义

贝塞尔曲线就是在确定起点和终点的前提下，根据其他控制点的位置，绘制出的一条符合控制点走向的平滑曲线。n阶贝塞尔曲线有n+1个控制点，下图是3阶贝塞尔曲线。

德卡斯特里奥(de Casteljau)算法

• 思想：取每个控制点的连线，并在每条连线的t(取值范围0-1)位置生成新的控制点并用新的控制点继续连线，直到最后一条连线的t位置就是整段贝塞尔曲线的t(取值范围0-1)点坐标^①。
• 图示：
  
  
  
  
• 树状表示
  
• 计算公式
  

贝塞尔曲线性质

• 贝塞尔曲线起始点就是控制点中的起始点，终止点就是控制点中的终止点。
  对于三阶贝塞尔曲线(下同)，即：b(0)=b₀，b(1)=b₃
• 三阶贝塞尔曲线初始点和终止点斜率满足：
  b’(0)=3(b₁-b₀)，b’(1)=3(b₃-b₂)
  因为3阶贝塞尔曲线表达式如下：
  
  求导就可以得到上述性质。
• 仿射变换不变性
  1、先对控制点做仿射变换，再根据变换后的控制点画贝塞尔曲线
  2、先画贝塞尔曲线，再对贝塞尔曲线上的点做仿射变换
  1和2的结果完全一样
• 凸包(Convex hull)性质
  即贝塞尔曲线一定在所有控制点构成的凸包内

高阶贝塞尔曲线存在的问题

可以看到10阶贝塞尔曲线中间的控制点没有对曲线走向造成影响，这是高阶Bezier曲线的固有问题。
解决方式：
对控制点进行拆分，以每四个点作为控制点，构成三阶贝塞尔曲线。相邻曲线间的平滑问题可以通过调整控制点位置解决(一般来说C1连续就可以满足要求，如果需要更高精度的连续可以采用C2…连续)。

其他样条曲线

基样条(B-splines)

• 相较于贝塞尔曲线要求更多信息
• 满足贝塞尔曲线的所有性质

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曲面

贝塞尔曲面

图示

原理

首先，贝塞尔曲面由4×4个控制点得到。由于每行都有4个控制点，因此对每行可以得到1个三阶贝塞尔曲线。

我们在这四个曲线上选择同样的时间u，可以得到u时刻的4个点(如上图)。利用这四个点在竖直方向画出贝塞尔曲线，得到下图。

由0-1中无数的u可以得到无数条对应的上图蓝色曲线，由这些曲线构成的面就称为贝塞尔曲面。

贝塞尔曲面上每个点都可以用一个二维坐标(u,v)表示，这是一种显式化参数的表现方式，结果如下图。

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参考

[1]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/268031177
[2]. GAMES101_Lecture_11.pdf
[3]. Shirley P , Marschner S R . Fundamentals of Computer Graphics[M]. AK Peters, 2005.