SwiftUI之深入解析三角函数和三角公式的应用

一、基本术语

• 三角是关于直角三角形的边和角之间的关系，可以给它们取个随意的名字，以确保我们都能理解对方，这些名称并不相关，可以选择任意名称，本文名称定义如下：

• 直角三角形：或者简单的直角三角形，它是一个三角形，其中有一个角是 90 度；
• • Hypotenuse（斜边）：它是直角三角形中最大的边，也是对着直角的边；
• • Leg：任意边，这不是斜边；
• • Opposed Leg：相对于其中一个角度，它是没有“接触”它的那个，在上图中， leg(a) 与 (alpha) 相反，leg(b) 与 (beta) 相反；
• • Adjacent Leg：相对于其中一个角，它是接触它的那个角，在上图中，leg(a) 毗邻 (beta)，leg(g) 毗邻(alpha)。

二、度和弧度

• 我们都知道度，如果我告诉你，给我一个 90 度的角，你可能马上就知道该怎么做。但如果我说，给一个 1.5708 弧度的角，那么你还知道怎么做吗？其实，它们都指向同一个角，角度和弧度是测量它们的两种不同尺度，这两个单元之间的转换非常简单：

• π 是 Pi 的符号，如果需要从角度转换到弧度，那么需要：

• 将弧度转换为角度：

• 如下所示，是一个可以创建的扩展，以便在两个单位之间转换：

extension Double {
    var asDegrees: Double { return self * 180 / .pi }
    var asRadians: Double { return self * .pi / 180 }
}

let radAngle: Double = 2.0
print("radAngle radians= \(radAngle.asDegrees) degrees") 

let degAngle: Double = 180
print("degAngle degrees = \(degAngle.asRadians) radians") 

• SwiftUI 有一个名为 Angle 的类型，带有一些方便的初始化式和计算属性：

let a = Angle(degrees: 180) // Create an angle using degrees
let b = Angle(radians: 2.3456) // Create an angle using radians
        
print("\(a.radians) radians = \(a.degrees) degrees")
print("\(b.radians) radians = \(b.degrees) degrees")

• 为什么会复杂化呢？degrees 不是更容易使用吗？也许对我们来说是这样，但数学上，弧度是有意义的，如果你有兴趣了解原因，可以浏览参考：Why Radians?。我们需要知道弧度，因为在 Swift 中的三角函数需要用弧度来指定角度。

三、三角函数的作用

• 正如我们看到的，给定一个直角三角形，可以从其他三角形推导出一些值。例如，如果知道斜边和其中一个角，就可以得到腿和其他角的大小。如果知道两条边，你就能得到斜边和角等。
• 我们为什么需要这个呢？如果开始考虑三角形的顶点(A, B 和 C)，在你的视图中作为 CGPoints，那么一切都比较清晰了。给定两个 CGPoint，可以计算从一个到另一个的方向(角度)(例如，对一个视图旋转效果很有用)。给定两个点的 x、y 坐标，可以得到它们之间的距离(斜边)，给定一个 CGPoint 的距离和方向，可以获得第二个 CGPoint 坐标等。
• 三角函数的另一个应用，是当你需要一个函数来平滑一个效果，一个距离，一个颜色，或者任何可以用数字表示的东西。

四、正弦，余弦和正切是什么?

• 除了三个基本的三角函数之外，还应该知道反函数（反正弦，反余弦和反正切）。例如，如果一个角度 的正弦值为 x，那么 x 的反正弦值为 ：

• 根据勾股定理，斜边的平方等于两条边的平方和：

• 还有 SOH-CAH-TOA：

• 由这些公式，我们可以推断出其余的一切，当需要某个没有的值时，看看其他知道的值，然后选择正确的公式就行了。对于任何值，需要知道两条边，或者一条边和一个角，所有的计算组合都在下表中，如下图所示：

• 这就是我们需要的全部数学，让我们看看如何获得两个 CGPoint 之间的距离和方向，然后给定一个点坐标，一个距离和一个方向的情况下，如何计算第二个点。我们要用它们来画一个多边形，来看看到如何应用相同的想法，以绘制一个形状，如花朵显示在文章的顶部，最后使用 sin() 函数来平滑值的输入或输出。

五、角度和方向

• 如果你有两个任意的点，我们称它们为 pt1 和 pt2，我们将得到这两个点之间的距离和方向：

• 使用 SwiftUI，这段代码将得到两点之间的方向和距离：

func getDistanceAndDirection(_ pt1: CGPoint, _ pt2: CGPoint) -> (distance: CGFloat, angle: Angle) {
    let a = pt2.y - pt1.y // calculate leg a
    let b = pt2.x - pt1.x // calculate leg b
    
    var alpha = atan2(a, b) // calculate angle
    let s = sin(alpha) // sine of the angle
    let h = (a == 0 ? abs(b) : (a / s)) // calculate hypotenuse, and prevent divide by zero

    alpha = alpha < 0 ? alpha + (.pi * 2) : alpha // make sure angles are returned as positive values
    
    return (h, Angle(radians: Double(alpha)))
}

• 看这两点构成的三角形，距离与三角形的斜边相匹配，用 arctan 计算角度。
• 在给定的方向和角度下获得第二个点：
• • 如果知道一个点的坐标 (pt1)，给定一个方向和长度，那么如何获得第二个点 (pt2)？

• • 在这个例子中，创建一个形状来绘制一条线，给定一个 CGPoint，一个角度和一个距离：

Line(pt1: CGPoint(x: 100, y: 300), direction: Angle(degrees: 25), length: 300)
                .stroke(Color.blue, lineWidth: 2)
                .frame(width: 400, height: 400)

struct Line: Shape {
    let pt1: CGPoint
    let direction: Angle
    let length: CGFloat
    
    func path(in rect: CGRect) -> Path {
        let x = pt1.x + length * CGFloat(cos(direction.radians))
        let y = pt1.y - length * CGFloat(sin(direction.radians))
        
        let pt2 = CGPoint(x: x, y: y)
        
        var p = Path()
        
        p.move(to: pt1)
        p.addLine(to: pt2)
                
        return p
    }
}

六、绘制一个多边形

• 接下来，来创建一个形状来绘制一个正多边形，这里将使用一个七边多边形，代码几乎类似，可以创建任意数量的边：

• 一个多边形有许多顶点，想要得到相应的坐标，这样就可以画出连接它们的线。如下图所示，所有顶点到圆周中心的距离都相同：

• 如前所述，在两点之间，您总是可以创建一个直角三角形。在某些情况下，会形成一个三角形，其中一条边的长度为 0，而另一条边的长度为斜边，想象一个三角形，其中一条边收缩，直到它的长度为零。在这种情况下，正弦值为 0，余弦值为 1，反之亦然。三角函数可以很好地处理这个问题，其中一种情况，就是顶部的顶点(90 度角)，cos(90) = 0 sin(90) = 1：

• 如果我们定义了多边形的中心和周长的半径，就可以得到所有的顶点，每个顶点的角度由多边形的边数决定。三角函数的美妙之处在于，它们可以处理大于 90 度的角，(在某些情况下)返回负值，这很好地满足了我们的绘图要求。例如，在上面的第二个三角形中，余弦值是负的，这意味着顶点的 x 坐标将小于圆周中心的 x 坐标，正是需要的：

struct PolygonShape: Shape {
    var sides: Int
    
    func path(in rect: CGRect) -> Path {        
        // hypotenuse (we make it fit inside the available rect
        let h = Double(min(rect.size.width, rect.size.height)) / 2.0
        
        // center
        let c = CGPoint(x: rect.size.width / 2.0, y: rect.size.height / 2.0)
        
        var path = Path()
                
        for i in 0..<sides {
            let angle = (Double(i) * (360.0 / Double(sides))) * Double.pi / 180

            // Calculate vertex position
            let pt = CGPoint(x: c.x + CGFloat(cos(angle) * h), y: c.y + CGFloat(sin(angle) * h))
            
            if i == 0 {
                path.move(to: pt) // move to first vertex
            } else {
                path.addLine(to: pt) // draw line to next vertex
            }
        }
        
        path.closeSubpath()
        
        return path
    }
}

• 我们随时都可以看到三角形，例如，在下面的花中，每个花瓣都由两条曲线组成；要画一条曲线，需要一个起点、一个终点和一个控制点，我们能用这三个点做什么呢？可以用来制作半瓣的三个点，另一半是对称的：

七、平滑进，平滑出

• 正弦（或余弦）函数有一个特点，我们看它的图形，可以注意到图形的形状重复，它的最小值是 -1，最大值是 1，f(x) 开始缓慢增长，然后稳定，然后再次缓慢增长：

• 如果稍微改变函数，为了移动和压缩图，我们得到一对理想的波，平滑地增加和减少一个任意值：

• 当然，还有其他方法可以实现平滑值，但这是一个值得提及的简单方法。可以使用这个功能淡入淡出几乎任何东西：声音音量、定位、移动、颜色、缩放等。如下所示，创建具有渐进缩放值的文本：

struct ContentView: View {
    var body: some View {
        ProgressiveText(text: "AAAAAAAA")
    }
}

struct ProgressiveText: View {
    let text: String
    
    var body: some View {
        
        HStack(spacing: 10) {
            ForEach(Array(text.enumerated()), id: \.0) { (n, ch) in
                Text(String(ch)).font(.largeTitle).fontWeight(.bold).scaleEffect(self.scaleValue(n, self.text.count))
            }
        }
    }
    
    func scaleValue(_ idx: Int, _ totalCharacters: Int) -> CGFloat {
        
        // Normalized character position, to a value between 0 and 1
        let x = Double(idx) / Double(totalCharacters)
        
        // Get a number between 0 and 1, according to a sine wave
        let y = (sin(2 * .pi * x - (.pi / 2)) + 1) / 2.0
        
        // Return a scale value from 1 (normal) to 3 (3 times the size).
        return 1 + 2 * CGFloat(y)
    }
}