数理统计复习笔记四——区间估计
文章目录
- 一、基本概念
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- 1.1 区间估计
- 1.2 置信水平（置信度）
- 1.3 置信系数
- 1.4 置信区间
- 1.5 单侧置信限
- 1.6 置信域
- 二、枢轴量法
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- 2.1 上侧 α \alpha α分位数
- 2.2 小样本情况下的步骤
- 2.3 大样本情况下
- 2.4 单个正态总体参数的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间
- 三、两个正态总体的置信区间
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- 3.1 δ = μ 2 − μ 1 \delta=\mu_2-\mu_1 δ=μ2−μ1的置信区间
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- 3.1.1 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma^2_1=\sigma^2_2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2未知时
- 3.1.2 θ = σ 2 2 / σ 1 2 \theta=\sigma^2_2/\sigma^2_1 θ=σ22/σ12已知时
- 3.1.3 m = n m=n m=n时
- 3.1.4 当 m , n m, n m,n都充分大时
- 3.2 方差比 σ 1 2 / σ 2 2 \sigma^2_1/\sigma^2_2 σ12/σ22的置信区间
数理统计复习笔记三——点估计介绍了若干点估计的方法和准则，本文介绍区间估计。
区间估计是介于估计和检验之间的内容，且区间估计与检验紧密相连，因此有的也把区间估计看作是检验的一种。
一、基本概念
1.1 区间估计
设 X 1 , ⋯ , X n X_1, \cdots, X_n X1,⋯,Xn为来自分布族 F = { f ( x , θ ) , θ ∈ Θ } \mathcal F=\{f(x,\theta), \theta\in\Theta\} F={f(x,θ),θ∈Θ}的样本， θ \theta θ为一维未知参数。如果 θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)， θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)为两个统计量，且 θ ^ L ( X ) ≤ θ ^ U ( X ) \hat\theta_L(\bm X)\le \hat\theta_U(\bm X) θ^L(X)≤θ^U(X)，则称随机区间 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]为 θ \theta θ的一个区间估计。
1.2 置信水平（置信度）
既然是估计，就应该有一个好坏的衡量指标。
当参数的真值为 θ \theta θ时，随机区间 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]包含 θ \theta θ的概率 P θ { [ θ ^ L ( X ) ≤ θ ≤ θ ^ U ( X ) ] } P_\theta\{[\hat\theta_L(\bm X)\le\theta\le\hat\theta_U(\bm X)]\} Pθ{[θ^L(X)≤θ≤θ^U(X)]}就称为置信水平或置信度。
对于一个区间估计来说，肯定希望置信水平或置信度越大越好。由于这个置信水平依赖于参数真值，故我们自然希望对于参数空间 Θ \Theta Θ中的每一个 θ \theta θ，其置信水平都很大。
1.3 置信系数
设随机区间 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]为 θ \theta θ的一个区间估计，则称 inf θ ∈ Θ P θ { [ θ ^ L ( X ) ≤ θ ≤ θ ^ U ( X ) ] } \inf_{\theta\in\Theta}P_\theta\{[\hat\theta_L(\bm X)\le\theta\le\hat\theta_U(\bm X)]\} θ∈ΘinfPθ{[θ^L(X)≤θ≤θ^U(X)]}为该区间估计的置信系数。
- 区间估计有时要用开区间或半开半闭区间，但从置信水平的角度看，这几种区间估计没有本质的区别
- 在计算某区间估计的置信水平时，我们应该知道 θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)， θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)的联合分布。如果不知道其联合分布，则很难求得其置信系数，这就是构造置信区间的技巧所在
1.4 置信区间
设 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]是参数 θ \theta θ的一个区间估计，如果对给定的 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha\in(0, 1) α∈(0,1)，有 P θ { [ θ ^ L ( X ) ≤ θ ≤ θ ^ U ( X ) ] } ≥ 1 − α , ∀ θ ∈ Θ (2) P_\theta\{[\hat\theta_L(\bm X)\le\theta\le\hat\theta_U(\bm X)]\}\ge1-\alpha , \forall\theta\in\Theta\tag{2} Pθ{[θ^L(X)≤θ≤θ^U(X)]}≥1−α,∀θ∈Θ(2)
则称 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]为 θ \theta θ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间， θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)， θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)分别称为置信下限和置信上限。
实际中也称满足 P θ { [ θ ^ L ( X ) ≤ θ ≤ θ ^ U ( X ) ] } = 1 − α P_\theta\{[\hat\theta_L(\bm X)\le\theta\le\hat\theta_U(\bm X)]\}=1-\alpha Pθ{[θ^L(X)≤θ≤θ^U(X)]}=1−α的区间估计为置信区间
详见杂记——贝叶斯可信区间与频率置信区间的区别
1.5 单侧置信限
有时人们感兴趣的指标是望大或望小指标（指标越大/小越好）。
设 θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)， θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)为两个统计量，对给定的 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha\in(0, 1) α∈(0,1)，有 P θ { θ ^ L ( X ) ≤ θ } ≥ 1 − α , ∀ θ ∈ Θ (3) P_\theta\{\hat\theta_L(\bm X)\le\theta\}\ge1-\alpha, \forall\theta\in\Theta\tag{3} Pθ{θ^L(X)≤θ}≥1−α,∀θ∈Θ(3)
P θ { θ ^ U ( X ) ≥ θ } ≥ 1 − α , ∀ θ ∈ Θ (4) P_\theta\{\hat\theta_U(\bm X)\ge\theta\}\ge1-\alpha, \forall\theta\in\Theta\tag{4} Pθ{θ^U(X)≥θ}≥1−α,∀θ∈Θ(4)
则分别称 θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)与 θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)为 θ \theta θ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的单侧置信下限和单侧置信上限。
与双侧置信限的关系：
设 θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)与 θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)为 θ \theta θ的置信水平为 1 − α 1 1-\alpha_1 1−α1和 1 − α 2 1-\alpha_2 1−α2的单侧置信下限和单侧置信上限，且 θ ^ L ( X ) ≤ θ ^ U ( X ) \hat\theta_L(\bm X)\le \hat\theta_U(\bm X) θ^L(X)≤θ^U(X)，则 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]是 θ \theta θ的置信水平为 1 − ( α 1 + α 2 ) 1-(\alpha_1+\alpha_2) 1−(α1+α2)的置信区间。
1.6 置信域
设 X 1 , ⋯ , X n X_1, \cdots, X_n X1,⋯,Xn为来自分布族 F = { f ( x , θ ) , θ ∈ Θ ⊆ R k } \mathcal F=\{f(x,\theta), \theta\in\Theta\subseteq\bm R^k\} F={f(x,θ),θ∈Θ⊆Rk}的样本， θ = ( θ 1 , ⋯ , θ k ) T \theta=(\theta_1,\cdots,\theta_k)^T θ=(θ1,⋯,θk)T，如果统计量 S ( X ) S(\bm X) S(X)满足
- 对任一样本观测值 x \bm x x， S ( x ) S(\bm x) S(x)是 Θ \Theta Θ的一个子集；
- 对给定的 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha\in(0,1) α∈(0,1)， P θ { θ ∈ S ( X ) } ≥ 1 − α , ∀ θ ∈ Θ P_\theta\{\theta\in S(\bm X)\}\ge1-\alpha, \forall\theta\in\Theta Pθ{θ∈S(X)}≥1−α,∀θ∈Θ
则称 S ( X ) S(\bm X) S(X)是 θ \theta θ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信域，而概率 P θ { θ ∈ S ( X ) } P_\theta\{\theta\in S(\bm X)\} Pθ{θ∈S(X)}在 Θ \Theta Θ上的下确界就称为置信系数
二、枢轴量法
求取参数的置信区间的方法有很多，本文主要介绍最常用的枢轴量法，尤其是对于连续型分布族。
2.1 上侧 α \alpha α分位数
记 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)和 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)分别表示标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1)的 C D F CDF CDF和 P D F PDF PDF，且用满足方程 Φ ( u α ) = 1 − α (5) \Phi(u_\alpha)=1-\alpha\tag{5} Φ(uα)=1−α(5)的 u α u_\alpha uα表示标准正态分布的上侧 α \alpha α分位数，如下图
类似的，用 χ α 2 ( n ) \chi_\alpha^2(n) χα2(n)， t α ( n ) t_\alpha(n) tα(n)， F α ( m , n ) F_\alpha(m, n) Fα(m,n)表示 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)， t ( n ) t(n) t(n)， F ( m , n ) F(m, n) F(m,n)的上侧 α \alpha α分位数。
2.2 小样本情况下的步骤
- 找一个与待估参数 g ( θ ) g(\theta) g(θ)无关的统计量 T T T，一般是它的一个很好的点估计
- 设法找出 T T T与 g ( θ ) g(\theta) g(θ)的某函数 S ( T , g ( θ ) ) S(T, g(\theta)) S(T,g(θ))，使得 S ( T , g ( θ ) ) S(T, g(\theta)) S(T,g(θ))的分布 F ( x ) F(x) F(x)与 θ \theta θ无关， S S S就称为枢轴量，一般令分布为正态分布、 χ 2 \chi^2 χ2分布、 t t t分布或 F F F分布
- 适当的选取两个常数 c , d c, d c,d，使对给定的 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha\in(0, 1) α∈(0,1)，有 P θ { c ≤ S ( T , g ( θ ) ) ≤ d } = 1 − α (6) P_\theta\{c\le S(T, g(\theta))\le d\}=1-\alpha\tag{6} Pθ{c≤S(T,g(θ))≤d}=1−α(6)即 F ( d ) − F ( c ) = 1 − α F(d)-F(c)=1-\alpha F(d)−F(c)=1−α，一般取 d = F α / 2 d=F_{\alpha/2} d=Fα/2， c = F 1 − α / 2 c=F_{1-\alpha/2} c=F1−α/2
- 如果能把 ( 6 ) (6) (6)式中的不等式 c ≤ S ( T , g ( θ ) ) ≤ d } = 1 − α c\le S(T, g(\theta))\le d\}=1-\alpha c≤S(T,g(θ))≤d}=1−α等价的改写成 θ ^ L ( X ) ≤ g ( θ ) ≤ θ ^ U ( X ) \hat\theta_L(\bm X)\le g(\theta)\le\hat\theta_U(\bm X) θ^L(X)≤g(θ)≤θ^U(X)，其中 θ ^ L ( X ) \hat\theta_L(\bm X) θ^L(X)， θ ^ U ( X ) \hat\theta_U(\bm X) θ^U(X)只与 c , d c, d c,d和 T T T有关，而与 θ \theta θ无关，则 [ θ ^ L ( X ) , θ ^ U ( X ) ] [\hat\theta_L(\bm X), \hat\theta_U(\bm X)] [θ^L(X),θ^U(X)]为 g ( θ ) g(\theta) g(θ)的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间
第2步寻找枢轴量最关键
例子：
设 X 1 , ⋯ , X n X_1, \cdots, X_n X1,⋯,Xn为来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的 I I D IID IID样本， μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2均未知，试求 μ \mu μ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间。
- 由于 X ‾ \overline X X是 μ \mu μ的一个很好的点估计，故我们在第一步取 T = X ‾ T=\overline X T=X
- 虽然 n ( X ‾ − μ ) / σ ∼ N ( 0 , 1 ) \sqrt{n}(\overline X-\mu)/\sigma\sim N(0,1) n(X−μ)/σ∼N(0,1)，但 σ \sigma σ未知，所以想到用 S n S_n Sn来代替，而 n ( X ‾ − μ ) / S n ∼ t ( n − 1 ) \sqrt{n}(\overline X-\mu)/S_n\sim t(n-1) n(X−μ)/Sn∼t(n−1)，所以可取枢轴量 S = n ( X ‾ − μ ) / S n S=\sqrt{n}(\overline X-\mu)/S_n S=n(X−μ)/Sn
- 由于 S ∼ t ( n − 1 ) S\sim t(n-1) S∼t(n−1)，所以可取 c = t 1 − α / 2 ( n − 1 ) = − t α / 2 ( n − 1 ) c=t_{1-\alpha/2}(n-1)=-t_{\alpha/2}(n-1) c=t1−α/2(n−1)=−tα/2(n−1)， d = t α / 2 ( n − 1 ) d=t_{\alpha/2}(n-1) d=tα/2(n−1)
- 因为 − t α / 2 ( n − 1 ) ≤ n ( X ‾ − μ ) / S n ≤ t α / 2 ( n − 1 ) -t_{\alpha/2}(n-1)\le \sqrt{n}(\overline X-\mu)/S_n\le t_{\alpha/2}(n-1) −tα/2(n−1)≤n(X−μ)/Sn≤tα/2(n−1)
所以 X ‾ − S n n t α / 2 ( n − 1 ) ≤ μ ≤ X ‾ + S n n t α / 2 ( n − 1 ) \overline X-\frac{S_n}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1)\le\mu\le\overline X+\frac{S_n}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1) X−nSntα/2(n−1)≤μ≤X+nSntα/2(n−1)
所以 μ \mu μ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ X ‾ − S n n t α / 2 ( n − 1 ) , X ‾ + S n n t α / 2 ( n − 1 ) ] [\overline X-\frac{S_n}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1),\overline X+\frac{S_n}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1)] [X−nSntα/2(n−1),X+nSntα/2(n−1)]
2.3 大样本情况下
枢轴量法更适用于连续性随机变量，对于离散型随机变量，并不容易操作，其原因在于给定的 α \alpha α，一般不存在确切的分位点。
例子：
设 X 1 , ⋯ , X n X_1,\cdots,X_n X1,⋯,Xn为来自伯努利分布 b ( 1 , p ) b(1,p) b(1,p)的 I I D IID IID样本，试求 p p p的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间。
关键还是找枢轴量。
我们知道 1 n ∑ i = 1 n X i \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i n1i=1∑nXi是 p p p的一个很好的估计，那么枢轴量应该与 T n = ∑ i = 1 n X i T_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i Tn=i=1∑nXi有关。而 T n ∼ B ( n , p ) T_n\sim B(n, p) Tn∼B(n,p)，其分布与 p p p有关，所以不能直接把 T n T_n Tn作为枢轴量。
但由中心极限定理可知，当 n → ∞ n\to\infty n→∞时， T n − n p n p ( 1 − p ) ∼ N ( 0 , 1 ) (7) \frac{T_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim N(0, 1)\tag{7} np(1−p)Tn−np∼N(0,1)(7) 即当 n n n充分大时，我们有 P { T n − n p n p ( 1 − p ) < x } = Φ ( x ) (8) P\{\frac{T_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\lt x\}=\Phi(x)\tag8 P{np(1−p)Tn−np<x}=Φ(x)(8) 且与 p p p无关，所以可将 T n − n p n p ( 1 − p ) \frac{T_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} np(1−p)Tn−np当作枢轴量。
所以当 n n n充分大时，有 P { − u α / 2 ≤ T n − n p n p ( 1 − p ) ≤ u α / 2 } (9) P\{-u_{\alpha/2}\le\frac{T_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le u_{\alpha/2}\}\tag9 P{−uα/2≤np(1−p)Tn−np≤uα/2}(9)
再进行化简即可
当 n n n充分大时，上述方法求得的置信区间非常接近水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间。在实际中，当 n ≥ 30 n\ge30 n≥30时，就可以认为是充分大了。
由上述例子可知，对于离散型的随机变量，我们可以通过中心极限定理转化为正态分布来求解置信区间。
2.4 单个正态总体参数的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间
X 1 , ⋯ , X n X_1,\cdots,X_n X1,⋯,Xn为来自正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的 I I D IID IID样本
| 参数情况 | 枢轴量 | 置信区间 |
|---|---|---|
| σ 2 \sigma^2 σ2已知，估计 μ \mu μ | n ( X ‾ − μ ) / σ ∼ N ( 0 , 1 ) \sqrt n(\overline X-\mu)/\sigma\sim N(0,1) n(X−μ)/σ∼N(0,1) | [ X ‾ − u α / 2 σ n , X ‾ + u α / 2 σ n ] [\overline X-u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}, \overline X+u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}] [X−uα/2nσ,X+uα/2nσ] |
| σ 2 \sigma^2 σ2未知，估计 μ \mu μ | n ( X ‾ − μ ) / S n ∼ t ( n − 1 ) \sqrt n(\overline X-\mu)/S_n\sim t(n-1) n(X−μ)/Sn∼t(n−1) | [ X ‾ − t α / 2 ( n − 1 ) S n n , X ‾ + t α / 2 ( n − 1 ) S n n ] [\overline X-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S_n}{\sqrt n}, \overline X+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S_n}{\sqrt n}] [X−tα/2(n−1)nSn,X+tα/2(n−1)nSn] |
| μ \mu μ已知，估计 σ 2 \sigma^2 σ2 | ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 / σ 2 ∼ χ 2 ( n ) \sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2/\sigma^2\sim \chi^2(n) i=1∑n(Xi−μ)2/σ2∼χ2(n) | [ ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 χ α / 2 ( n ) 2 , ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 χ 1 − α / 2 ( n ) 2 ] [\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2(n)}},\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2(n)}}] [χα/2(n)2i=1∑n(Xi−μ)2,χ1−α/2(n)2i=1∑n(Xi−μ)2] |
| μ \mu μ未知，估计 σ 2 \sigma^2 σ2 | ( n − 1 ) S n 2 / σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) (n-1)S_n^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1) (n−1)Sn2/σ2∼χ2(n−1) | [ ( n − 1 ) S n 2 χ α / 2 ( n − 1 ) 2 , ( n − 1 ) S n 2 χ 1 − α / 2 ( n − 1 ) 2 ] [\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{\alpha/2(n-1)}},\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{1-\alpha/2(n-1)}}] [χα/2(n−1)2(n−1)Sn2,χ1−α/2(n−1)2(n−1)Sn2] |
三、两个正态总体的置信区间
设 X 1 , ⋯ , X m X_1,\cdots,X_m X1,⋯,Xm和 Y 1 , ⋯ , Y n Y_1,\cdots,Y_n Y1,⋯,Yn分别为来自正态总体 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma^2_1) N(μ1,σ12)和 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma^2_2) N(μ2,σ22)的样本，且全样本独立，其中 μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 \mu_1,\mu_2,\sigma^2_1,\sigma^2_2 μ1,μ2,σ12,σ22为参数。样本均值为 X ‾ = 1 m ∑ i = 1 m X i \overline X=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mX_i X=m1i=1∑mXi， Y ‾ = 1 n ∑ i = 1 n Y i \overline Y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nY_i Y=n1i=1∑nYi，样本方差为 S 1 m 2 = 1 m − 1 ∑ i = 1 m ( X i − X ‾ ) 2 S_{1m}^2=\frac{1}{m-1}\sum\limits_{i=1}^m(X_i-\overline X)^2 S1m2=m−11i=1∑m(Xi−X)2， S 2 n 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ‾ ) 2 S_{2n}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(Y_i-\overline Y)^2 S2n2=n−11i=1∑n(Yi−Y)2
3.1 δ = μ 2 − μ 1 \delta=\mu_2-\mu_1 δ=μ2−μ1的置信区间
3.1.1 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma^2_1=\sigma^2_2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2未知时
由数理统计复习笔记一——统计中常用的抽样分布(卡方分布，t分布，F分布)可知 T = m n ( m + n − 2 ) m + n ( Y ˉ − X ˉ ) − δ ( m − 1 ) S 1 m 2 + ( n − 1 ) S 2 n 2 ∼ t ( m + n − 2 ) (10) T=\sqrt{\frac{mn(m+n-2)}{m+n}}\frac{(\bar Y-\bar X)-\delta}{\sqrt{(m-1)S^2_{1m}+(n-1)S^2_{2n}}}\sim t(m+n-2)\tag{10} T=m+nmn(m+n−2)(m−1)S1m2+(n−1)S2n2(Yˉ−Xˉ)−δ∼t(m+n−2)(10)
所以可令其为枢轴量，进而可得 δ \delta δ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ Y ‾ − X ‾ ∓ t α / 2 ( m + n − 2 ) ] m + n m n ( m + n − 2 ) ( m − 1 ) S 1 m 2 + ( n − 1 ) S 2 n 2 (11) [\overline Y-\overline X\mp t_{\alpha/2}(m+n-2)]\sqrt{\frac{m+n}{mn(m+n-2)}}\sqrt{(m-1)S^2_{1m}+(n-1)S^2_{2n}}\tag{11} [Y−X∓tα/2(m+n−2)]mn(m+n−2)m+n(m−1)S1m2+(n−1)S2n2(11)
3.1.2 θ = σ 2 2 / σ 1 2 \theta=\sigma^2_2/\sigma^2_1 θ=σ22/σ12已知时
因为 T = m n ( m + n − 2 ) m θ + n ( Y ˉ − X ˉ ) − δ ( m − 1 ) S 1 m 2 + ( n − 1 ) S 2 n 2 / θ ∼ t ( m + n − 2 ) (12) T=\sqrt{\frac{mn(m+n-2)}{m\theta+n}}\frac{(\bar Y-\bar X)-\delta}{\sqrt{(m-1)S^2_{1m}+(n-1)S^2_{2n}/\theta}}\sim t(m+n-2)\tag{12} T=mθ+nmn(m+n−2)(m−1)S1m2+(n−1)S2n2/θ(Yˉ−Xˉ)−δ∼t(m+n−2)(12)
所以可令其为枢轴量，进而可得 δ \delta δ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ Y ‾ − X ‾ ∓ t α / 2 ( m + n − 2 ) ] m θ + n m n ( m + n − 2 ) ( m − 1 ) S 1 m 2 + ( n − 1 ) S 2 n 2 / θ (13) [\overline Y-\overline X\mp t_{\alpha/2}(m+n-2)]\sqrt{\frac{m\theta+n}{mn(m+n-2)}}\sqrt{(m-1)S^2_{1m}+(n-1)S^2_{2n}/\theta}\tag{13} [Y−X∓tα/2(m+n−2)]mn(m+n−2)mθ+n(m−1)S1m2+(n−1)S2n2/θ(13)
3.1.3 m = n m=n m=n时
此时 Z i = Y i − X i ∼ N ( δ , σ 1 2 + σ 2 2 ) Z_i=Y_i-X_i\sim N(\delta, \sigma^2_1+\sigma^2_2) Zi=Yi−Xi∼N(δ,σ12+σ22)， i = 1 , ⋯ , n i=1,\cdots,n i=1,⋯,n且相互独立，于是可知 Z ‾ ∼ N ( δ , ( σ 1 2 + σ 2 2 ) / n ) \overline Z\sim N(\delta, (\sigma^2_1+\sigma^2_2)/n) Z∼N(δ,(σ12+σ22)/n)， ∑ i = 1 n ( Z i − Z ‾ ) 2 / ( σ 1 2 + σ 2 2 ) ∼ χ 2 ( n − 1 ) \sum\limits_{i=1}^n(Z_i-\overline Z)^2/(\sigma^2_1+\sigma^2_2)\sim\chi^2(n-1) i=1∑n(Zi−Z)2/(σ12+σ22)∼χ2(n−1)，所以有 n ( n − 1 ) ( Z ‾ − δ ) ∑ i = 1 n ( Z i − Z ‾ ) 2 ∼ t ( n − 1 ) (14) \frac{\sqrt{n(n-1)}(\overline Z-\delta)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(Z_i-\overline Z)^2}}\sim t(n-1)\tag{14} i=1∑n(Zi−Z)2n(n−1)(Z−δ)∼t(n−1)(14)
所以可得 δ \delta δ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ Z ‾ ∓ t α / 2 ( n − 1 ) ∑ i = 1 n ( Z i − Z ‾ ) 2 n ( n − 1 ) ] (15) [\overline Z\mp t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(Z_i-\overline Z)^2}}{\sqrt{n(n-1)}}]\tag{15} [Z∓tα/2(n−1)n(n−1)i=1∑n(Zi−Z)2](15)
3.1.4 当 m , n m, n m,n都充分大时
因为 S 1 m 2 → σ 1 2 S_{1m}^2\to\sigma^2_1 S1m2→σ12， S 2 n 2 → σ 2 2 S_{2n}^2\to\sigma^2_2 S2n2→σ22，且 Y ‾ − X ‾ ∼ N ( δ , σ 1 2 / m + σ 2 2 / n ) \overline Y-\overline X\sim N(\delta, \sigma^2_1/m+ \sigma^2_2/n) Y−X∼N(δ,σ12/m+σ22/n)，所以 T ˇ = Y ‾ − X ‾ − δ S 1 m 2 / m + S 2 n 2 / n ∼ N ( 0 , 1 ) (16) \check T=\frac{\overline Y-\overline X-\delta}{\sqrt{S_{1m}^2/m+S_{2n}^2/n}}\sim N(0,1)\tag{16} Tˇ=S1m2/m+S2n2/nY−X−δ∼N(0,1)(16)
所以可得 δ \delta δ的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ Y ‾ − X ‾ ∓ u α / 2 S 1 m 2 / m + S 2 n 2 / n ] [\overline Y-\overline X\mp u_{\alpha/2}\sqrt{S_{1m}^2/m+S_{2n}^2/n}] [Y−X∓uα/2S1m2/m+S2n2/n]
3.2 方差比 σ 1 2 / σ 2 2 \sigma^2_1/\sigma^2_2 σ12/σ22的置信区间
因为 ( m − 1 ) S 1 m 2 / σ 1 2 ∼ χ 2 ( m − 1 ) (m-1)S_{1m}^2/\sigma^2_1\sim\chi^2(m-1) (m−1)S1m2/σ12∼χ2(m−1)， ( n − 1 ) S 2 n 2 / σ 2 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) (n-1)S_{2n}^2/\sigma^2_2\sim\chi^2(n-1) (n−1)S2n2/σ22∼χ2(n−1)，且二者是独立的，于是 F = S 1 m 2 / σ 1 2 S 2 n 2 / σ 2 2 ∼ F ( m − 1 , n − 1 ) (17) F=\frac{S_{1m}^2/\sigma^2_1}{S_{2n}^2/\sigma^2_2}\sim F(m-1,n-1)\tag{17} F=S2n2/σ22S1m2/σ12∼F(m−1,n−1)(17)
可以作为枢轴量，并且 P { F 1 − α / 2 ( m − 1 , n − 1 ) ≤ S 1 m 2 / σ 1 2 S 2 n 2 / σ 2 2 ≤ F α / 2 ( m − 1 , n − 1 ) } (18) P\{F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1)\le\frac{S_{1m}^2/\sigma^2_1}{S_{2n}^2/\sigma^2_2}\le F_{\alpha/2}(m-1,n-1)\}\tag{18} P{F1−α/2(m−1,n−1)≤S2n2/σ22S1m2/σ12≤Fα/2(m−1,n−1)}(18)
进而可得置信区间为 [ S 1 m 2 / S 2 n 2 F α / 2 ( m − 1 , n − 1 ) , S 1 m 2 / S 2 n 2 F 1 − α / 2 ( m − 1 , n − 1 ) ] (19) [\frac{S_{1m}^2/S_{2n}^2}{F_{\alpha/2}(m-1,n-1)}, \frac{S_{1m}^2/S_{2n}^2}{F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1)}]\tag{19} [Fα/2(m−1,n−1)S1m2/S2n2,F1−α/2(m−1,n−1)S1m2/S2n2](19)