（11）学习笔记：动手深度学习（权重衰退）

一、理论基础

二、从零开始实现

2.0 数据生成

[像以前一样生成一些数据]，生成公式如下：

($$y=0.05+\sum _{i=1}^{d}0.01x_i+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.01^2).$$)

我们选择标签是关于输入的线性函数。
标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。
为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到$d=200$，
并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5#训练集20，测试集100，维数200，一次训练所选取的样本数为5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)#添加噪声生成训练数据
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)#构造一个PyTorch数据迭代器
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

2.1 初始化模型参数

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

2.2 定义L2范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

2.3 定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项

#lambd用来控制是否添加惩罚项
def train(lambd):#lambd用来控制是否添加惩罚项
    w, b = init_params()#初始化模型参数
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss#采用线性回归和平方误差
    num_epochs, lr = 100, 0.003#
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

2.4 忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)

w的L2范数是： 12.616206169128418

2.5 使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

w的L2范数是： 0.3572238087654114

三、简洁实现

由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。
在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数b不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss()
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
net = nn.Sequential(nn.Linear(200, 1))
for param in net.parameters():
    param.data.normal_()#对参数进行标准化

[这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同]。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)

w的L2范数： 14.247243881225586

train_concise(3)

w的L2范数： 0.38974931836128235

四、小结

• 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
• 保持模型简单的一个特别的选择是使用L2惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
• 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
• 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

五、问题

为什么要把w往小的拉?如果最优解的W就是比较大的数，那权重衰减是不是会有反作用?
一般因为模型有噪音会发生过拟合，合适的lambda可以把w拉到合适的地方